Résolution d'équations et d'inéquations dans \(\mathbb{R}^2\) : substitution et combinaison

Introduction

Les systèmes d'équations ou d'inéquations à deux variables (« \(x\) » et « \(y\) ») souvent rencontrés en seconde peuvent être résolus par des méthodes utilisant la substitution ou la combinaison. Ces méthodes permettent de simplifier le système en réduisant à une seule équation à une variable.

1. Méthode de substitution

Elle consiste à exprimer une variable en fonction de l'autre à partir d'une équation, puis à remplacer cette expression dans l'autre équation.

Exemple

Équations : 
  \(\)
  \[ egin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 3 \end{cases}\)

1. Exprimer « \( y \) » à partir de la première équation :
\( y = 5 - x \)

2. Remplacer cette expression dans la deuxième équation :
\( 2x - (5 - x) = 3 \)

3. Résoudre cette équation à une variable :
\( 2x - 5 + x = 3 \)
\( 3x - 5 = 3 \)
\( 3x = 8 \)
\( x = \dfrac{8}{3} \)

4. Calculer « \( y \) » :
\( y = 5 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{15}{3} - \dfrac{8}{3} = \dfrac{7}{3} \)

Solution : \(\left( \( \dfrac{8}{3} \), \( \dfrac{7}{3} \) \right)\)

2. Méthode de combinaison (ou d’élimination)

Elle consiste à additionner ou soustraire les équations pour éliminer une variable, facilitant la résolution.

Exemple

Équations : 
  \(\)
  \[ egin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x - y = 3 \end{cases}\)

1. Multiplier la deuxième équation par 2 pour aligner les coefficients de « \( y \) »
\( 4x - 2y = 6 \)

2. Ajouter la première équation et cette nouvelle équation :
\( (3x + 2y) + (4x - 2y) = 7 + 6 \)
\( 7x = 13 \)
\( x = \dfrac{13}{7} \)

3. Remplacer « \( x \) » dans l’une des équations initiales pour trouver « \( y \) » :
\( 2x - y = 3 \)
\( 2 imes \dfrac{13}{7} - y = 3 \)
\( \dfrac{26}{7} - y = 3 \)
\( y = \dfrac{26}{7} - 3 = \dfrac{26}{7} - \dfrac{21}{7} = \dfrac{5}{7} \)

Solution : \(\left( \( \dfrac{13}{7} \), \( \dfrac{5}{7} \) \right)\)

Conclusion

Les méthodes de substitution et de combinaison permettent de résoudre efficacement un système d'équations à deux inconnues. Le choix de la méthode dépend souvent de la simplicité de chaque étape ou de la forme du système.