Résolution d’équations et d’inéquations du premier degré

Objectifs du cours

• Savoir identifier une équation ou une inéquation du premier degré à une inconnue.
• Maîtriser les règles d’égalité et d’inégalité pour isoler la variable x.
• Pouvoir résoudre des exemples et vérifier les résultats par substitution ou vérification graphique simple.

Notions clés

Équation du premier degré à une inconnue : on cherche à isoler x dans \(a x + b = c\). La solution est \(x = \frac{c - b}{a}\) avec \(a \neq 0\).

Pour une inéquation du type \(a x + b \leq c\) ou \(a x + b \geq c\), le signe de l’inégalité peut changer lors de la division ou de la multiplication par un nombre négatif. En résumé :

• Si \(a > 0\), alors \(a x + b \leq c\) donne \(x \leq \frac{c - b}{a}\).
• Si \(a > 0\), alors \(a x + b \geq c\) donne \(x \geq \frac{c - b}{a}\).
• Si \(a < 0\), les signes s’inversent : \(a x + b \leq c\) donne \(x \geq \frac{c - b}{a}\) et \(a x + b \geq c\) donne \(x \leq \frac{c - b}{a}\).

Exemple d’inéquation : \(2x + 5 \leq 17\) se résout par étapes : \[\begin{align} 2x + 5 &\leq 17 \\ 2x &\leq 12 \\ x &\leq 6 \end{align}\]

Astuce : pour vérifier, remplacez la valeur de x dans l’expression originale et vérifiez que l’égalité ou l’inégalité est bien respectée.

Exemples résolus

Exemple 1 : Résolution d’une équation du premier degré

Équation : \(3x - 7 = 14\).

Exemple 2 : Résolution d’une inéquation

Inéquation : \(2x + 5 \leq 17\).

Erreurs fréquentes

• Oublier de soustraire/additionner le même terme des deux côtés lors des manipulations.
• Diviser par zéro : l’opération n’est pas autorisée lorsque \(a = 0\) dans une équation \(a x + b = c\).
• Retourner le signe de l’inégalité lors de la multiplication ou de la division par un nombre négatif.
• Oublier de vérifier la solution dans le cas des inéquations (la réponse doit satisfaire l’inéquation).

Récapitulatif

Pour résoudre une équation du premier degré \(a x + b = c\) (avec \(a \neq 0\)) : isoler \(x\) en soustrayant \(b\) puis en divisant par \(a\). Pour une inéquation du même type, appliquer les mêmes opérations en prenant garde à inverser le signe si l’opération est une multiplication ou une division par un nombre négatif.