Résolution d’équations et d’inéquations du premier degré

1. Introduction

Une équation ou une inéquation du premier degré est une expression contenant une variable (souvent x) à laquelle on associe un symbole d’égalité (=) ou d’inégalité (<, >, \(\leq\), \(\geq\)).

2. Résolution d’une équation du premier degré

Une équation du premier degré a la forme :
ax + b = 0,
où a et b sont des nombres donnés, et a ≠ 0.

Étapes

• Isoler la variable :
• Soustraire b des deux côtés :
  ax = -b
• Diviser par a pour trouver x :
  x = \(\displaystyle rac{-b}{a}\)

Exemple : Résoudre l’équation \(2x + 4 = 0\):
x = \(\displaystyle rac{-4}{2} = -2\).

3. Résolution d’une inéquation du premier degré

Une inéquation du premier degré a la forme :
ax + b < 0,
ou d’autres symboles comme >, ≤, ≥.

Étapes

• Soustraire b aux deux côtés :
  ax < -b (pour l’exemple <)
• Diviser par a :
  x < \(\displaystyle rac{-b}{a}\)

Attention : si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, il faut inverser le symbole de l’inégalité.

Exemple :

Résoudre l’inéquation \(3x - 6 > 0\):
3x > 6
x > \(\displaystyle rac{6}{3} = 2\).

4. Représentation graphique

Les solutions d’une équation ou d’une inéquation du premier degré peuvent être représentées graphiquement sur une droite numérique :

• Une équation a un point précis (valeur de x).
• Une inéquation a un intervalle de solutions :
• Exemple : \(x > 2\) correspond à tous les x > 2.

Conclusion

La résolution d’équations et d’inéquations du premier degré permet de déterminer toutes les valeurs possibles de la variable en respectant les conditions. La pratique régulière aide à maîtriser ces méthodes essentielles en algèbre.