Résolution d'équations linéaires dans \(\mathbb{Q}\)

Objectif

Apprendre à résoudre une équation linéaire à une inconnue dans l'ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\).

Définition

Une équation linéaire à une inconnue est une équation de la forme :

  a x + b = 0

où \(a\) et \(b\) sont des nombres rationnels, avec \(a eq 0\).

Étapes de résolution

1. Isoler le terme en \(x\) : \( a x + b = 0 \implies a x = -b\)
2. Diviser par le coefficient \(a\) : \( x = rac{-b}{a}\)

Exemple

Résoudre l'équation : \(3x - 6 = 0\).

• Étape 1 : isoler \(x\) : \(3x = 6\)
• Étape 2 : diviser par 3 : \(x = rac{6}{3} = 2\)

La solution est : \(oxed{x=2}\).

Remarque

Pour toute équation de la forme \(a x + b = 0\) avec \(a eq 0\), la solution est unique :

\[ x = rac{-b}{a} \]

Cas particulier

Si \(a=0\), l'équation devient :

  0 	imes x + b = 0 \implies b=0

Ce qui est vrai indépendamment de \(x\). La solution dépend alors de \(b\):

• Si \(b=0\), toute valeur de \(x\) est solution (équation infiniment de solutions).
• Si \(b eq 0\), il n'y a pas de solution (équation impossible).