Objectifs

• Reconnaître une équation du premier degré à une inconnue et vérifier si un nombre en est solution.
• Utiliser les opérations inverses (addition et soustraction, multiplication et division) pour isoler l'inconnue.
• Résoudre des équations de la forme \(ax + b = cx + d\), avec parenthèses ou fractions.
• Reconnaître les cas particuliers : aucune solution ou une infinité de solutions.
• Résoudre une équation produit nul du type \((ax + b)(cx + d) = 0\).
• Mettre un problème de la vie courante en équation et le résoudre.

1. Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, souvent noté \(x\), appelé l'inconnue. L'égalité a deux membres : le membre de gauche et le membre de droite du signe « = ».

Une équation est du premier degré quand l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance 1 (pas de \(x^2\), pas de \(\frac{1}{x}\)). Après simplification, elle peut toujours s'écrire sous la forme

Un nombre est solution de l'équation si, en remplaçant \(x\) par ce nombre, l'égalité est vraie. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions.

2. Les règles de la balance : les opérations inverses

Pour isoler l'inconnue, on « défait » ce qui l'entoure en utilisant l'opération inverse :

• l'inverse d'ajouter \(b\), c'est soustraire \(b\) ; l'inverse de soustraire \(b\), c'est ajouter \(b\) ;
• l'inverse de multiplier par \(a\), c'est diviser par \(a\) (avec \(a \neq 0\)).

Voici la balance de l'équation \(3x + 2 = 11\) : trois sacs identiques de masse \(x\) kg et 2 kg d'un côté, 11 kg de l'autre. Avance étape par étape.

Exemples simples

Résous d'abord seul, puis découvre la solution.

a) \(x + 7 = 15\)    b) \(x - 4 = -10\)    c) \(3x = 21\)    d) \(\frac{x}{5} = 4\)

3. Résoudre une équation de la forme \(ax + b = cx + d\)

La méthode suit toujours le même chemin :

flowchart LR
A[Développer et réduire] --> B[Regrouper les x à gauche]
B --> C[Regrouper les nombres à droite]
C --> D[Diviser par le coefficient de x]
D --> E[Vérifier]

Exemple résolu 1

Résoudre \(5x - 4 = 2x + 11\).

Exemple résolu 2 : avec des parenthèses

Résoudre \(2(x + 3) = 5x - 9\).

Exemple résolu 3 : avec des fractions

Résoudre \(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10\).

Retour aux moto-taxis

Cherche d'abord : pour quelle distance les deux zémidjans coûtent-ils le même prix ?

4. Ce que montre la droite : l'équation \(ax + b = 0\)

La solution de \(ax + b = 0\) (avec \(a \neq 0\)) est \(x = -\frac{b}{a}\). Sur un graphique, c'est l'abscisse du point où la droite d'équation \(y = ax + b\) coupe l'axe horizontal. Bouge les curseurs : avec \(a = 2\) et \(b = -6\), la droite coupe l'axe en \(x = 3\), solution de \(2x - 6 = 0\).

Essaie \(a = 0\) : la droite devient horizontale. Elle ne coupe jamais l'axe (si \(b \neq 0\)) ou elle est confondue avec lui (si \(b = 0\)). Ce sont les deux cas particuliers de la partie suivante.

5. Les cas particuliers

Parfois, en regroupant, les \(x\) disparaissent. Deux cas sont possibles.

• Égalité fausse : l'équation n'a aucune solution. Exemple : \(2(x + 1) = 2x + 5\) donne \(2x + 2 = 2x + 5\), puis \(0x = 3\), ce qui est impossible.
• Égalité toujours vraie : tout nombre est solution. Exemple : \(3(x + 2) = 3x + 6\) donne \(3x + 6 = 3x + 6\), puis \(0x = 0\), vrai pour tout \(x\).

6. L'équation produit nul

On ramène ainsi une équation de la forme \((ax + b)(cx + d) = 0\) à deux équations du premier degré.

Exemple résolu 4

Résoudre \((2x - 6)(x + 4) = 0\). Cherche d'abord, puis avance étape par étape.

7. Mettre un problème en équation

Pour résoudre un problème, on suit quatre étapes :

1. Choisir l'inconnue : ce que l'on cherche, en précisant l'unité.
2. Traduire l'énoncé par une équation.
3. Résoudre l'équation.
4. Vérifier et conclure par une phrase qui répond à la question.

À toi : l'âge de Kofi

Le père de Kofi a trois fois l'âge de Kofi. Dans 12 ans, il n'aura plus que le double de l'âge de Kofi. Quel âge a Kofi aujourd'hui ?

Récapitulatif

• Une équation est une balance en équilibre : on fait toujours la même opération des deux côtés.
• On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser par un même nombre non nul.
• Méthode pour \(ax + b = cx + d\) : développer, regrouper les \(x\) d'un côté et les nombres de l'autre, diviser par le coefficient de \(x\), vérifier.
• Si les \(x\) disparaissent : \(0x = k\) avec \(k \neq 0\) n'a aucune solution ; \(0x = 0\) en a une infinité.
• \(A \times B = 0\) équivaut à \(A = 0\) ou \(B = 0\).
• Pour un problème : inconnue, équation, résolution, vérification et phrase de conclusion.

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