La remontée résout un système ; la réduction d’une matrice augmentée permet aussi d’étudier une inverse et le rang.

Résolution de systèmes et inverse

Objectifs

Effectuer une remontée.
Calculer une inverse par Gauss-Jordan.
Relier rang et nombre de solutions.

Remonter dans un système triangulaire

Après élimination, un système triangulaire se résout de la dernière équation vers la première. On remplace chaque inconnue déjà obtenue dans les équations précédentes. La remontée utilise des pivots non nuls. Le contrôle final se fait dans les équations initiales, pas seulement dans le tableau transformé.

Exercice fictif : \(\begin{cases}x+y+z=6\\y-z=-1\\5z=15\end{cases}\). Trouve les inconnues.

Voir la solution après avoir cherché

La dernière ligne donne \(z=3\).

Puis \(y-3=-1\), donc \(y=2\).

Enfin \(x+2+3=6\), donc \(x=1\). On vérifie les trois égalités.

Dans quel ordre commence la remontée ici ?

\(x\), puis \(y\), puis \(z\)
\(z\), puis \(y\), puis \(x\)
On peut ignorer la dernière équation

La dernière équation fournit une seule inconnue ; on réutilise ensuite ce résultat.

Une matrice inverse par opérations de lignes

Pour une matrice carrée \(A\), on forme \([A\mid I]\), où \(I\) est l’identité. Si des opérations élémentaires permettent d’obtenir \([I\mid B]\), alors \(B=A^{-1}\). On applique les opérations aux deux blocs. Pour ce calcul, on élimine aussi au-dessus des pivots : c’est une réduction de Gauss-Jordan.

Exercice fictif : inverse \(A=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\).

Voir la solution après avoir cherché

On part de \(\left[\begin{array}{cc|cc}1&1&1&0\\2&3&0&1\end{array}\right]\).

Après \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\), on obtient \(\left[\begin{array}{cc|cc}1&1&1&0\\0&1&-2&1\end{array}\right]\).

Après \(L_1\leftarrow L_1-L_2\), le bloc gauche est l’identité. Donc \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}\).

Le produit donne \(AA^{-1}=\begin{pmatrix}3-2&-1+1\\6-6&-2+3\end{pmatrix}=I\), ce qui contrôle le résultat.

Pour passer de \([A\mid I]\) à \([I\mid A^{-1}]\), où applique-t-on les opérations ?

Seulement au bloc de gauche
Sur les lignes entières des deux blocs
Seulement sur la diagonale

Les deux blocs doivent subir exactement les mêmes transformations.

Rang, compatibilité et unicité

Le rang d’une matrice est le nombre de pivots de sa forme échelonnée. Le système \(AX=b\) est compatible si les rangs de \(A\) et de \([A\mid b]\) sont égaux. Si ce rang commun est le nombre d’inconnues, la solution est unique ; s’il est inférieur, des paramètres libres donnent une infinité de solutions sur les réels. Une matrice carrée n’est inversible que si son rang est égal à sa taille.

flowchart TD
A[Forme echelonnee] --> B{Ligne impossible}
B -->|Oui| C[Aucune solution]
B -->|Non| D{Pivot pour chaque inconnue}
D -->|Oui| E[Solution unique]
D -->|Non| F[Parametres libres]

Exercice fictif : pour la matrice \(A\) précédente, résous \(AX=\begin{pmatrix}5\\12\end{pmatrix}\).

Voir la solution après avoir cherché

On calcule \(X=A^{-1}b=\begin{pmatrix}3\times5-12\\-2\times5+12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\).

Contrôle : \(3+2=5\) et \(2\times3+3\times2=12\).

Il y a deux pivots pour deux inconnues : la solution est unique. Pour résoudre un seul système, une élimination suivie de remontée suffit ; calculer toute l’inverse n’est pas obligatoire.

Une matrice carrée dont le rang est inférieur à sa taille possède-t-elle une inverse ?

Il manque au moins un pivot ; le bloc gauche ne peut pas devenir l’identité.

Erreurs fréquentes

Résumé

La forme échelonnée organise la résolution, le rang décrit les contraintes indépendantes, et une inverse exige un pivot pour chaque colonne d’une matrice carrée.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner chaque carte.

Remontée

Résolution de la dernière équation vers la première.

Inverse

Matrice \(B\) telle que \(AB=BA=I\).

Gauss-Jordan

Réduction jusqu’à l’identité pour une matrice inversible.

Rang

Nombre de pivots dans une forme échelonnée.

Compatibilité

Égalité des rangs des matrices de coefficients et augmentée.