Résolution d'équations simples du premier degré

Résoudre une équation, c'est trouver le nombre caché qui rend l'égalité vraie, en faisant toujours la même opération des deux côtés, comme sur une balance qu'on garde en équilibre.

Objectifs

Reconnaître une équation, son inconnue, et tester si un nombre en est la solution.
Résoudre les équations du type \( x + a = b \), \( x - a = b \), \( a \times x = b \) et \( x \div a = b \).
Résoudre une équation en deux étapes du type \( ax + b = c \).
Mettre un petit problème de la vie courante en équation, le résoudre et vérifier.

1. Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation est une égalité dans laquelle se cache un nombre inconnu, représenté par une lettre, souvent \( x \). Cette lettre s'appelle l'inconnue.

Pour Kofi, l'équation est : \[ x + 350 = 1000 \]

La solution est le nombre qui, mis à la place de \( x \), rend l'égalité vraie. Ici, \( x = 650 \), car \( 650 + 350 = 1000 \).

Tester si un nombre est solution

On remplace \( x \) par le nombre, on calcule chaque membre, et on compare.

Exemple : 4 est-il solution de \( 3x - 2 = 10 \) ? Cherche d'abord.

Voir la solution

On remplace \( x \) par 4 : \( 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10 \). On trouve bien 10 : l'égalité est vraie, donc 4 est solution.

Quel nombre est solution de l'équation 2x + 1 = 11 ?

Avec x = 5 : 2 fois 5 plus 1 donne 11. Avec 4 on obtient 9, avec 6 on obtient 13.

2. Équations avec une addition ou une soustraction

Pour isoler \( x \), on fait l'opération contraire des deux côtés :

si on ajoute un nombre à \( x \), on soustrait ce nombre des deux côtés ;
si on soustrait un nombre à \( x \), on ajoute ce nombre des deux côtés.

Exemple résolu : les billes d'Awa

L'équation est \( x - 7 = 12 \). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

On veut \( x \) seul. On a enlevé 7 à \( x \) : on ajoute 7 des deux côtés. \[ x - 7 + 7 = 12 + 7 \]

On simplifie : \[ x = 19 \]

On vérifie : \( 19 - 7 = 12 \). C'est juste : Awa avait 19 billes.

Quelle est la solution de x + 18 = 45 ?

On soustrait 18 des deux côtés : x = 45 − 18 = 27. Vérification : 27 + 18 = 45.

3. Équations avec une multiplication ou une division

On note \( x \) le prix d'une mangue : \( 4 \times x = 2800 \), qu'on écrit aussi \( 4x = 2800 \) (le signe \( \times \) entre un nombre et une lettre peut se sous-entendre).

si \( x \) est multiplié par un nombre (non nul), on divise les deux côtés par ce nombre ;
si \( x \) est divisé par un nombre, on multiplie les deux côtés par ce nombre.

Exemple résolu : le prix d'une mangue

On divise les deux côtés par 4 : \[ \frac{4x}{4} = \frac{2800}{4} \]

On simplifie : \[ x = 700 \]

On vérifie : \( 4 \times 700 = 2800 \). Une mangue coûte 700 F.

Autre exemple : \( \dfrac{x}{5} = 3 \). On multiplie les deux côtés par 5 : \( x = 3 \times 5 = 15 \). Vérification : \( 15 \div 5 = 3 \).

Quelle est la solution de 6x = 54 ?

x est multiplié par 6, donc on divise par 6 : x = 54 ÷ 6 = 9. Vérification : 6 fois 9 font 54.

4. Équations en deux étapes : ax + b = c

L'équation est \( 3x + 5 = 20 \). On défait les opérations dans l'ordre inverse : d'abord l'addition, puis la multiplication.

On enlève 5 de chaque côté : la balance reste en équilibre et il reste 3x = 15.

On partage chaque côté en 3 parts égales : un sachet pèse 5 kg.

On soustrait 5 des deux côtés : \[ 3x + 5 - 5 = 20 - 5 \quad \text{donc} \quad 3x = 15 \]

On divise les deux côtés par 3 : \[ x = \frac{15}{3} = 5 \]

On vérifie : \( 3 \times 5 + 5 = 15 + 5 = 20 \). Un sachet pèse 5 kg.

À toi : résous \( 5x - 4 = 21 \)

Cherche d'abord sur ton cahier.

Voir la solution

On ajoute 4 des deux côtés : \( 5x = 25 \). On divise par 5 : \( x = 5 \). Vérification : \( 5 \times 5 - 4 = 25 - 4 = 21 \).

Quelle est la solution de 2x + 3 = 17 ?

On enlève 3 : 2x = 14, puis on divise par 2 : x = 7. Vérification : 2 fois 7 plus 3 donne 17.

5. Mettre un problème en équation

Méthode en 4 temps : 1. choisir l'inconnue \( x \) ; 2. écrire l'équation ; 3. la résoudre ; 4. vérifier et répondre par une phrase.

Exemple résolu : les cahiers d'Aïcha

À la librairie de Cotonou, Aïcha achète 3 cahiers identiques et un stylo à 200 F. Elle paie 950 F. Quel est le prix d'un cahier ? Cherche d'abord.

Inconnue : \( x \) = prix d'un cahier, en francs CFA.

Équation : 3 cahiers plus le stylo font 950 F, donc \[ 3x + 200 = 950 \]

Résolution : \[ 3x = 950 - 200 = 750 \quad \text{puis} \quad x = \frac{750}{3} = 250 \]

Vérification : \( 3 \times 250 + 200 = 750 + 200 = 950 \). Réponse : un cahier coûte 250 F.

Seydou a 1 500 F. Il achète 2 jus identiques et il lui reste 900 F. Quelle équation traduit la situation ?

1500 − 2x = 900
2x + 1500 = 900
1500 + 900 = 2x

Il dépense 2x, donc il lui reste 1500 − 2x, qui vaut 900. On trouve 2x = 600 et x = 300 F par jus.

Erreurs fréquentes

Faire l'opération d'un seul côté : la balance n'est plus en équilibre.
Utiliser la mauvaise opération contraire (soustraire au lieu de diviser).
Diviser par le coefficient avant d'avoir enlevé le nombre ajouté.
Oublier de vérifier : remplacer \( x \) par la solution trouvée permet de repérer presque toutes les erreurs.

Récapitulatif

Équation

Égalité qui contient un nombre inconnu noté par une lettre.

Solution

Nombre qui rend l'égalité vraie quand on le met à la place de l'inconnue.

x + a = b

On soustrait a des deux côtés : x = b − a.

a fois x = b

On divise les deux côtés par a : x = b ÷ a.

Vérifier

Remplacer x par la solution et contrôler que les deux côtés sont égaux.