Résolution graphique et algébrique

Mathématiques, classe de 2nde, thème : Équations et inéquations dans ℝ

Résoudre une équation ou une inéquation, c'est trouver tous les nombres qui la rendent vraie : par le calcul (méthode algébrique, exacte) ou en lisant des courbes (méthode graphique, rapide et visuelle).

Objectifs

Résoudre une équation du premier degré et une équation produit nul.
Résoudre une équation quotient en tenant compte des valeurs interdites.
Résoudre une inéquation du premier degré et une inéquation produit grâce à un tableau de signes.
Résoudre graphiquement \( f(x) = k \), \( f(x) = g(x) \) et \( f(x) < g(x) \).
Écrire l'ensemble des solutions avec des intervalles.

1. Résoudre algébriquement une équation

Une solution d'une équation est un nombre qui rend l'égalité vraie. Résoudre, c'est trouver toutes les solutions : on note \( S \) leur ensemble.

Règles : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

Exemple résolu 1 : équation du premier degré

Résous \( 3x - 5 = 2x + 7 \). Cherche d'abord.

On regroupe les \( x \) à gauche en retirant \( 2x \) des deux côtés : \( x - 5 = 7 \).

On ajoute 5 des deux côtés : \( x = 12 \).

Vérification : \( 3 \times 12 - 5 = 31 \) et \( 2 \times 12 + 7 = 31 \). Donc \( S = \{12\} \).

L'équation produit nul

Exemple résolu 2 : produit nul et factorisation

Résous a) \( (2x - 6)(x + 4) = 0 \) ; b) \( x^2 - 9 = 0 \) ; c) \( x^2 = 5x \).

Voir la solution

a) \( 2x - 6 = 0 \) ou \( x + 4 = 0 \), donc \( x = 3 \) ou \( x = -4 \) : \( S = \{-4 ; 3\} \).

b) On factorise avec \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) : \( (x - 3)(x + 3) = 0 \), donc \( S = \{-3 ; 3\} \).

c) On ramène tout à gauche puis on factorise : \( x^2 - 5x = 0 \), soit \( x(x - 5) = 0 \), donc \( S = \{0 ; 5\} \).

L'équation quotient

Un quotient \( \dfrac{A}{B} \) est nul si et seulement si \( A = 0 \) et \( B \neq 0 \). Il faut d'abord chercher les valeurs interdites (celles qui annulent le dénominateur).

Exemple : \( \dfrac{x - 2}{x + 1} = 0 \). Valeur interdite : \( -1 \). On résout \( x - 2 = 0 \), donc \( x = 2 \), qui n'est pas interdite : \( S = \{2\} \).

Quel est l'ensemble des solutions de (x + 1)(x - 7) = 0 ?

{1 ; 7}
{1 ; -7}
{-1 ; 7}

x + 1 = 0 donne x = -1, et x - 7 = 0 donne x = 7.

Quelle est la solution de l'équation (x + 5)/(x - 3) = 0 ?

x = 3
x = -5
Il n'y a pas de solution

Le numérateur s'annule pour x = -5, qui n'est pas la valeur interdite 3. Donc S = {-5}.

2. Résoudre algébriquement une inéquation

Les règles sont les mêmes que pour les équations, avec une différence capitale :

Exemple résolu 3 : inéquation du premier degré

Résous \( -2x + 8 \ge 0 \). Cherche d'abord.

On retire 8 : \( -2x \ge -8 \).

On divise par \( -2 \), qui est négatif, donc on change le sens : \( x \le 4 \).

\( S = \left]-\infty ; 4\right] \). Le crochet est fermé en 4 car 4 est solution (inégalité large).

On repère la borne 4 ; l'inégalité est large, donc 4 fait partie des solutions : le crochet est tourné vers les solutions.

On colorie tous les nombres plus petits que 4 : c'est l'intervalle de moins l'infini à 4, fermé en 4.

Inéquation produit : le tableau de signes

Pour résoudre \( (x - 1)(3 - x) > 0 \), on étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes du produit.

\( x - 1 = 0 \) pour \( x = 1 \) ; le coefficient de \( x \) est positif, donc \( x - 1 \) est négatif avant 1 et positif après.
\( 3 - x = 0 \) pour \( x = 3 \) ; le coefficient de \( x \) est négatif, donc \( 3 - x \) est positif avant 3 et négatif après.

\( x \)	\( -\infty \) à 1	1	1 à 3	3	3 à \( +\infty \)
\( x - 1 \)	\( - \)	0	\( + \)		\( + \)
\( 3 - x \)	\( + \)		\( + \)	0	\( - \)
produit	\( - \)	0	\( + \)	0	\( - \)

Le produit est strictement positif entre 1 et 3, bornes exclues : \( S = \left]1 ; 3\right[ \).

Quel est l'ensemble des solutions de -3x > 12 ?

]-∞ ; -4[
]-4 ; +∞[
]-∞ ; 4[

On divise par -3, nombre négatif : le sens change, x < -4.

Fatou résout 400x + 200 ≤ 5000. Combien de cahiers peut-elle acheter au maximum ?

400x ≤ 4800 donc x ≤ 12. Elle peut acheter 12 cahiers au maximum (12 × 400 + 200 = 5000 F).

3. Résoudre graphiquement

Soit \( f \) et \( g \) deux fonctions de courbes \( C_f \) et \( C_g \) dans un repère.

Les solutions de \( f(x) = k \) sont les abscisses des points de \( C_f \) d'ordonnée \( k \) (intersection avec la droite horizontale \( y = k \)).
Les solutions de \( f(x) = g(x) \) sont les abscisses des points d'intersection de \( C_f \) et \( C_g \).
Les solutions de \( f(x) < g(x) \) sont les abscisses des points où \( C_f \) est strictement en dessous de \( C_g \).

Manipule le graphique : la parabole \( y = x^2 \) et la droite \( y = ax + b \). Avec \( a = 1 \) et \( b = 2 \), lis les abscisses des points d'intersection, puis l'intervalle où la parabole est sous la droite. Change ensuite \( b \) : que se passe-t-il quand la droite ne coupe plus la parabole ?

Exemple résolu 4 : vérifier la lecture par le calcul

Avec \( a = 1 \) et \( b = 2 \), résous \( x^2 = x + 2 \) puis \( x^2 < x + 2 \).

Lecture graphique : les courbes se coupent en \( x = -1 \) et \( x = 2 \), et la parabole est sous la droite entre ces deux valeurs.

Calcul : \( x^2 - x - 2 = 0 \). On vérifie que \( (x - 2)(x + 1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2 \).

Produit nul : \( x = 2 \) ou \( x = -1 \), donc \( S = \{-1 ; 2\} \) pour l'équation.

Tableau de signes de \( (x - 2)(x + 1) \) : négatif entre \( -1 \) et 2. Donc \( x^2 < x + 2 \) a pour solutions \( S = \left]-1 ; 2\right[ \).

Exemple résolu 5 : choisir un forfait téléphonique

Offre A : 2 000 F CFA par mois plus 50 F par minute. Offre B : 5 000 F CFA par mois plus 20 F par minute. Pour quelles durées \( x \) (en minutes) l'offre A est-elle moins chère ? Observe d'abord le graphique (le curseur p est le prix de la minute de l'offre A ; laisse-le sur 50), puis calcule.

Voir la solution

\begin{align} 2000 + 50x &< 5000 + 20x \\ 30x &< 3000 \\ x &< 100 \end{align}

L'offre A est moins chère pour moins de 100 minutes par mois. À 100 minutes, les deux coûtent 7 000 F CFA ; au-delà, l'offre B est plus avantageuse.

Les courbes de f et g se coupent aux points (-2 ; 5) et (3 ; 0). Quel est l'ensemble des solutions de f(x) = g(x) ?

{5 ; 0}
{(-2 ; 5) ; (3 ; 0)}
{-2 ; 3}

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection : -2 et 3.

4. Quelle méthode choisir ?

flowchart TD
A[Équation ou inéquation] --> B{Premier degré}
B -->|oui| C[Isoler x]
B -->|non| D[Tout ramener à gauche]
D --> E[Factoriser]
E --> F[Produit nul ou tableau de signes]
A --> G[Courbes données]
G --> H[Lecture graphique puis vérification]

Récapitulatif

Équation : mêmes opérations des deux côtés ; produit nul : un des facteurs est nul.
Quotient nul : numérateur nul et dénominateur non nul (valeurs interdites).
Inéquation : le sens change si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif ; tableau de signes pour un produit.
Graphiquement : on lit les abscisses des points d'intersection ou des parties de courbe au-dessus ou en dessous.

Produit nul

A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.

Valeur interdite

Valeur qui annule un dénominateur : elle ne peut jamais être solution.

Changement de sens

Multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Signe de ax + b

Signe contraire de a avant la racine -b/a, signe de a après.

f(x) = g(x) graphiquement

Abscisses des points d'intersection des deux courbes.

f(x) < g(x) graphiquement

Abscisses des points où la courbe de f est strictement sous celle de g.