Résolution par combinaison

Combiner, c'est additionner ou soustraire les deux équations, après les avoir éventuellement multipliées, pour faire disparaître une inconnue d'un seul coup.

Objectifs

Comprendre pourquoi on peut additionner ou soustraire deux équations membre à membre.
Éliminer une inconnue quand ses coefficients sont opposés ou égaux.
Multiplier une ou deux équations pour obtenir des coefficients opposés ou égaux.
Résoudre, vérifier, et reconnaître les cas sans solution ou avec une infinité de solutions.

1. Additionner deux équations

Si \(A = B\) et \(C = D\), alors \(A + C = B + D\) et \(A - C = B - D\). On peut donc ajouter ou soustraire deux équations membre à membre : on obtient une nouvelle équation vraie pour la solution.

Exemple résolu 1 : coefficients opposés

Résoudre \(\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}\). Cherche d'abord.

Les coefficients de \(y\) sont \(+1\) et \(-1\) : ils sont opposés. On additionne les deux équations.

\((x + y) + (x - y) = 10 + 4\), soit \(2x = 14\), donc \(x = 7\).

On remplace dans la première : \(7 + y = 10\), donc \(y = 3\).

Vérification : \(7 + 3 = 10\) et \(7 - 3 = 4\). Solution : \((7\,;\,3)\).

Dans \(\begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ 5x - 2y = 13 \end{cases}\), que faire pour éliminer \(y\) ?

Additionner les deux équations.
Soustraire les deux équations.
Multiplier la première par \(2\).

Les coefficients de \(y\) sont \(+2\) et \(-2\) : opposés. En additionnant, \(2y - 2y = 0\) et on obtient \(8x = 24\), donc \(x = 3\) (puis \(y = 1\)).

2. Soustraire deux équations

Quand une inconnue a le même coefficient dans les deux équations, on soustrait les équations.

Exemple résolu 2 : pains et lait

On note \(p\) le prix d'un pain et \(\ell\) celui d'un sachet de lait, en F CFA : \(\begin{cases} 4p + 3\ell = 1550 \\ 4p + \ell = 1050 \end{cases}\). Cherche d'abord.

Les coefficients de \(p\) sont égaux (\(4\) et \(4\)) : on soustrait la seconde équation à la première.

\((4p + 3\ell) - (4p + \ell) = 1550 - 1050\), soit \(2\ell = 500\), donc \(\ell = 250\).

On remplace dans la seconde : \(4p + 250 = 1050\), donc \(4p = 800\) et \(p = 200\).

Vérification : \(4 \times 200 + 3 \times 250 = 800 + 750 = 1550\) et \(800 + 250 = 1050\). Un pain coûte 200 F CFA, un sachet de lait 250 F CFA.

On calcule \((2x + 5y) - (2x - 3y)\). Quel est le résultat ?

\(2y\)
\(4x + 2y\)
\(8y\)

\(2x - 2x = 0\) et \(5y - (-3y) = 5y + 3y = 8y\). Le signe moins devant la parenthèse change \(-3y\) en \(+3y\).

3. Multiplier avant de combiner

Si aucun coefficient n'est égal ou opposé, on multiplie une équation (ou les deux) par un nombre non nul choisi pour que les coefficients d'une inconnue deviennent opposés.

flowchart LR
  A[Choisir l inconnue a eliminer] --> B[Multiplier pour avoir des coefficients opposes]
  B --> C[Additionner les equations]
  C --> D[Resoudre puis remplacer]
  D --> E[Verifier]

Exemple résolu 3 : multiplier une équation

Résoudre \(\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}\). Cherche d'abord.

Pour éliminer \(y\), on multiplie la seconde équation par \(3\) : \(3x - 3y = 3\).

Les coefficients de \(y\) sont maintenant \(+3\) et \(-3\). On additionne : \((2x + 3y) + (3x - 3y) = 12 + 3\), soit \(5x = 15\), donc \(x = 3\).

On remplace dans \(x - y = 1\) : \(3 - y = 1\), donc \(y = 2\).

Vérification : \(2 \times 3 + 3 \times 2 = 12\) et \(3 - 2 = 1\). Solution : \((3\,;\,2)\).

Exemple résolu 4 : multiplier les deux équations

Résoudre \(\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 2x + 5y = 18 \end{cases}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

Pour éliminer \(x\), on rend ses coefficients égaux à \(6\) : on multiplie la première équation par \(2\) et la seconde par \(3\).

\[\begin{cases} 6x + 4y = 32 \\ 6x + 15y = 54 \end{cases}\]

On soustrait la première à la seconde : \(15y - 4y = 54 - 32\), soit \(11y = 22\), donc \(y = 2\).

On remplace dans \(3x + 2y = 16\) : \(3x + 4 = 16\), donc \(3x = 12\) et \(x = 4\).

Vérification : \(3 \times 4 + 2 \times 2 = 16\) et \(2 \times 4 + 5 \times 2 = 18\). Solution : \((4\,;\,2)\).

Dans \(\begin{cases} 5x + 2y = 1 \\ 3x - 4y = 11 \end{cases}\), par quoi multiplier la première équation pour éliminer \(y\) en additionnant ?

Par \(-2\)
Par \(2\)
Par \(4\)

Multipliée par \(2\), la première devient \(10x + 4y = 2\) : \(+4y\) et \(-4y\) sont opposés, l'addition les élimine.

Exercice : à toi de jouer

Termine la résolution de \(\begin{cases} 5x + 2y = 1 \\ 3x - 4y = 11 \end{cases}\).

Voir la solution

\(10x + 4y = 2\) plus \(3x - 4y = 11\) donne \(13x = 13\), donc \(x = 1\).

Dans \(5x + 2y = 1\) : \(5 + 2y = 1\), donc \(2y = -4\) et \(y = -2\).

Vérification : \(5 \times 1 + 2 \times (-2) = 1\) et \(3 \times 1 - 4 \times (-2) = 3 + 8 = 11\). Solution : \((1\,;\,-2)\).

4. Voir la combinaison sur un graphique

Pour l'exemple 3, \(2x + 3y = 12\) s'écrit \(y = 4 - \frac{2}{3}x\) et \(x - y = 1\) s'écrit \(y = x - 1\). Le curseur \(k\) trace aussi la droite d'équation \(2x + 3y + k(x - y) = 12 + k\), obtenue en ajoutant \(k\) fois la seconde équation à la première. Fais varier \(k\) : cette droite tourne mais passe toujours par \((3\,;\,2)\). Avec \(k = 3\) (hors du curseur), on obtiendrait \(5x = 15\) : \(y\) est éliminé, et cette droite devient verticale.

5. Cas particuliers

Si, en combinant, les deux inconnues disparaissent :

égalité fausse (comme \(0 = 1\)) : aucune solution ;
égalité vraie (comme \(0 = 0\)) : infinité de solutions.

Exemple résolu 5

Résoudre \(\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 9 \end{cases}\). Cherche d'abord.

On multiplie la première par \(2\) : \(2x + 4y = 8\).

On soustrait : \((2x + 4y) - (2x + 4y) = 9 - 8\), soit \(0 = 1\).

L'égalité est fausse : le système n'a aucune solution.

En combinant \(\begin{cases} 3x - y = 2 \\ 6x - 2y = 4 \end{cases}\), on obtient \(0 = 0\). Que conclure ?

Aucune solution.
Une seule solution : \((0\,;\,0)\).
Une infinité de solutions : tous les couples qui vérifient \(3x - y = 2\).

La seconde équation est la première multipliée par \(2\) : c'est la même information, donc tous les couples de la droite \(3x - y = 2\) conviennent.

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier le membre de droite d'une équation.
Se tromper de signe en soustrayant : mettre des parenthèses.
Additionner alors que les coefficients sont égaux (il fallait soustraire), ou l'inverse.
Oublier de calculer la seconde inconnue après avoir trouvé la première.
Ne pas vérifier la solution dans les deux équations de départ.

Récapitulatif

On peut ajouter ou soustraire deux équations membre à membre.
Coefficients opposés : on additionne ; coefficients égaux : on soustrait.
Sinon, on multiplie une ou deux équations (tous les termes) pour y arriver.
On résout, on remplace pour trouver l'autre inconnue, on vérifie.
Égalité fausse : aucune solution ; égalité toujours vraie : infinité de solutions.

Combinaison

Ajouter ou soustraire les équations (après multiplication éventuelle) pour éliminer une inconnue.

Coefficients opposés (\(+3y\) et \(-3y\))

On additionne les équations.

Coefficients égaux (\(4p\) et \(4p\))

On soustrait les équations, avec des parenthèses.

Multiplier une équation

On multiplie tous les termes, des deux côtés du signe \(=\).

\(0 = 1\) ou \(0 = 0\)

Aucune solution, ou une infinité de solutions.