Résolution par combinaison : choisir les multiplicateurs, éliminer chaque inconnue et nettoyer fractions et décimaux

Pour éliminer une inconnue, on multiplie les équations par des nombres bien choisis (souvent grâce au PPCM des coefficients) afin d'obtenir des coefficients égaux ou opposés, puis on soustrait ou on additionne ; si le système contient des virgules ou des fractions, on le nettoie d'abord.

Objectifs

Choisir les plus petits multiplicateurs grâce au PPCM des coefficients.
Décider s'il faut additionner ou soustraire les équations.
Utiliser la double combinaison pour trouver chaque inconnue directement, même quand la solution est fractionnaire.
Transformer un système à coefficients décimaux ou fractionnaires en système à coefficients entiers.
Résoudre un problème concret et reconnaître un système impossible.

1. Pourquoi a-t-on le droit de combiner ?

Deux règles justifient la méthode :

si \(A = B\), alors \(kA = kB\) pour tout nombre \(k \neq 0\) : on peut multiplier une équation par un nombre non nul ;
si \(A = B\) et \(C = D\), alors \(A + C = B + D\) et \(A - C = B - D\) : on peut additionner ou soustraire deux équations.

Le but : obtenir, pour une inconnue, des coefficients opposés (on additionne) ou égaux (on soustrait), pour qu'elle disparaisse.

flowchart LR
  A[Regarder les coefficients de x ou de y] --> B{Opposes}
  B -- Oui --> C[Additionner]
  B -- Non --> D{Egaux}
  D -- Oui --> E[Soustraire]
  D -- Non --> F[Multiplier grace au PPCM]
  F --> B

Dans \(\begin{cases} 2x + 5y = 1 \\ 3x - 5y = 9 \end{cases}\), que faut-il faire pour éliminer \(y\) ?

Soustraire les deux équations
Multiplier la 1re équation par 3
Additionner les deux équations

Les coefficients de \(y\) sont \(5\) et \(-5\), opposés : en additionnant, \(5x = 10\), donc \(x = 2\), puis \(4 + 5y = 1\) donne \(y = -\dfrac{3}{5}\).

2. Choisir les multiplicateurs avec le PPCM

Pour éliminer une inconnue de coefficients \(a\) et \(a'\) :

on calcule le PPCM \(m\) de \(|a|\) et \(|a'|\) ;
on multiplie la 1re équation par \(\dfrac{m}{|a|}\) et la 2e par \(\dfrac{m}{|a'|}\) ;
on soustrait si les coefficients obtenus sont égaux, on additionne s'ils sont opposés.

Multiplier par \(a'\) et par \(a\) (« en croix ») marche toujours, mais donne parfois de plus grands nombres.

Exemple résolu 1 : éliminer \(x\) avec le PPCM

Résous \(\begin{cases} 4x + 3y = 10 \\ 6x - 5y = -4 \end{cases}\). Cherche d'abord le PPCM de 4 et 6.

PPCM de 4 et 6 : 12. On multiplie la 1re équation par 3 et la 2e par 2 : \(\begin{cases} 12x + 9y = 30 \\ 12x - 10y = -8 \end{cases}\).

Les coefficients de \(x\) sont égaux : on soustrait la 2e à la 1re : \(9y - (-10y) = 30 - (-8)\), soit \(19y = 38\), donc \(y = 2\).

On remplace dans la 1re équation : \(4x + 3 \times 2 = 10 \iff 4x = 4 \iff x = 1\).

Vérification : \(4 + 6 = 10\) et \(6 - 10 = -4\). Donc \(S = \{(1 ; 2)\}\).

Exemple résolu 2 : la double combinaison

Même système, mais on veut trouver \(x\) sans passer par \(y\) : on élimine cette fois \(y\). Cherche d'abord le PPCM de 3 et 5.

Voir la solution

PPCM de 3 et 5 : 15. On multiplie la 1re équation par 5 et la 2e par 3 :

\[\begin{cases} 20x + 15y = 50 \\ 18x - 15y = -12 \end{cases}\]

Coefficients de \(y\) opposés : on additionne : \(38x = 38\), donc \(x = 1\). On retrouve le même résultat que dans l'exemple 1 : c'est une vérification gratuite.

Exemple résolu 3 : une solution fractionnaire

Résous \(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 3 \end{cases}\) par double combinaison. Cherche d'abord.

On élimine \(y\) (PPCM de 3 et 2 : 6) : 1re \(\times 2\) et 2e \(\times 3\) donnent \(4x + 6y = 14\) et \(15x - 6y = 9\). On additionne : \(19x = 23\), donc \(x = \dfrac{23}{19}\).

On élimine \(x\) (PPCM de 2 et 5 : 10) : 1re \(\times 5\) et 2e \(\times 2\) donnent \(10x + 15y = 35\) et \(10x - 4y = 6\). On soustrait : \(19y = 29\), donc \(y = \dfrac{29}{19}\).

Vérification : \(2 \times \dfrac{23}{19} + 3 \times \dfrac{29}{19} = \dfrac{46 + 87}{19} = \dfrac{133}{19} = 7\) et \(5 \times \dfrac{23}{19} - 2 \times \dfrac{29}{19} = \dfrac{115 - 58}{19} = \dfrac{57}{19} = 3\).

Donc \(S = \left\{\left(\dfrac{23}{19} ; \dfrac{29}{19}\right)\right\}\).

Pour éliminer \(x\) dans \(\begin{cases} 6x + y = 4 \\ 9x - 2y = 1 \end{cases}\), quels multiplicateurs donnent le plus petit coefficient commun ?

1re équation \(\times 3\) et 2e \(\times 2\)
1re équation \(\times 9\) et 2e \(\times 6\)
1re équation \(\times 2\) et 2e \(\times 3\)

Le PPCM de 6 et 9 est 18 : \(6 \times 3 = 18\) et \(9 \times 2 = 18\). Le choix « en croix » (\(\times 9\) et \(\times 6\)) donne 54, plus grand. Le 3e choix donne 12 et 27 : \(x\) ne disparaît pas.

3. Nettoyer un système à virgules ou à fractions

Virgules : on multiplie l'équation par 10, 100… selon le nombre maximal de chiffres après la virgule.
Fractions : on multiplie l'équation par un multiple commun des dénominateurs (le plus petit possible).
Dans les deux cas, tous les termes sont multipliés, second membre compris.

Exemple résolu 4 : des coefficients décimaux

Résous \(\begin{cases} 0{,}5x + 1{,}2y = 4{,}4 \\ 0{,}3x - 0{,}4y = 0{,}4 \end{cases}\). Cherche d'abord à écrire un système sans virgule.

Un seul chiffre après la virgule : on multiplie chaque équation par 10 : \(\begin{cases} 5x + 12y = 44 \\ 3x - 4y = 4 \end{cases}\).

On élimine \(y\) : la 2e \(\times 3\) donne \(9x - 12y = 12\). On l'additionne à la 1re : \(14x = 56\), donc \(x = 4\).

Dans \(3x - 4y = 4\) : \(12 - 4y = 4 \iff y = 2\).

Vérification dans le système de départ : \(0{,}5 \times 4 + 1{,}2 \times 2 = 2 + 2{,}4 = 4{,}4\) et \(0{,}3 \times 4 - 0{,}4 \times 2 = 1{,}2 - 0{,}8 = 0{,}4\). Donc \(S = \{(4 ; 2)\}\).

Exemple résolu 5 : des coefficients fractionnaires

Résous \(\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{3} = -1 \end{cases}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

1re équation \(\times 6\) : \(3x + 2y = 24\). 2e équation \(\times 12\) : \(3x - 4y = -12\).

Les coefficients de \(x\) sont égaux : on soustrait la 2e à la 1re : \(2y - (-4y) = 24 - (-12)\), soit \(6y = 36\), donc \(y = 6\).

Puis \(3x + 2 \times 6 = 24 \iff 3x = 12 \iff x = 4\).

Vérification : \(\dfrac{4}{2} + \dfrac{6}{3} = 2 + 2 = 4\) et \(\dfrac{4}{4} - \dfrac{6}{3} = 1 - 2 = -1\). Donc \(S = \{(4 ; 6)\}\).

Remarque : dans le système de départ, les coefficients de \(y\) étaient déjà opposés (\(\dfrac{1}{3}\) et \(-\dfrac{1}{3}\)) : en additionnant directement, \(\dfrac{3x}{4} = 3\) donne aussi \(x = 4\).

Quelle écriture sans virgule est équivalente à \(0{,}2x + 0{,}15y = 1\) ?

\(2x + 15y = 10\)
\(20x + 15y = 100\)
\(20x + 15y = 1\)

Deux chiffres après la virgule : on multiplie tous les termes par 100. Le 1er choix est faux car \(0{,}15 \times 10 = 1{,}5\) et non 15 ; le 3e oublie le second membre.

4. Un problème concret et le cas impossible

Exemple résolu 6 : les jus d'Ablavi

Ablavi a vendu 35 bouteilles pour une recette de 12 100 F. Combien de bouteilles de chaque sorte ? Cherche d'abord le système, puis simplifie-le.

Soit \(x\) le nombre de bouteilles de bissap et \(y\) celui de gingembre : \(\begin{cases} x + y = 35 \\ 300x + 400y = 12100 \end{cases}\).

On simplifie la 2e équation en divisant par 100 : \(3x + 4y = 121\).

On multiplie la 1re par 3 : \(3x + 3y = 105\). On la soustrait à \(3x + 4y = 121\) : \(y = 16\).

Puis \(x = 35 - 16 = 19\). Vérification : \(19 + 16 = 35\) et \(300 \times 19 + 400 \times 16 = 5700 + 6400 = 12100\). Ablavi a vendu 19 bouteilles de bissap et 16 de gingembre.

Exemple résolu 7 : quand tout disparaît

Résous \(\begin{cases} 2x - 3y = 4 \\ -4x + 6y = 1 \end{cases}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

On multiplie la 1re équation par 2 : \(4x - 6y = 8\). On additionne avec la 2e : \(0x + 0y = 9\), soit \(0 = 9\).

Cette égalité est fausse quelles que soient les valeurs de \(x\) et \(y\) : le système n'a aucune solution, \(S = \varnothing\). Si l'on avait obtenu \(0 = 0\), les deux équations seraient équivalentes et le système aurait une infinité de solutions.

En combinant les deux équations d'un système, tu obtiens \(0x + 0y = 7\). Que peux-tu conclure ?

Le système a une seule solution.
Le système n'a aucune solution.
Le système a une infinité de solutions.

\(0 = 7\) est toujours faux : aucun couple ne vérifie les deux équations. Seul \(0 = 0\) aurait conduit à une infinité de solutions.

Erreurs fréquentes

Multiplier seulement le premier membre : \(3 \times (4x + 3y = 10)\) donne \(12x + 9y = 30\), le 10 aussi est multiplié.
Additionner quand il fallait soustraire : avec des coefficients égaux (\(12x\) et \(12x\)), l'addition donne \(24x\) au lieu de faire disparaître \(x\).
Erreurs de signe dans la soustraction : \(-(-10y) = +10y\) ; utilise des parenthèses.
Garder les virgules : les calculs avec des décimaux multiplient les erreurs ; multiplie d'abord par 10 ou 100.
Remplacer une fraction trop vite : préfère la double combinaison quand la première inconnue est fractionnaire.

Récapitulatif

On a le droit de multiplier une équation par un nombre non nul et d'additionner ou soustraire deux équations.
Coefficients opposés : on additionne ; égaux : on soustrait ; sinon on multiplie grâce au PPCM.
La double combinaison donne \(x\) et \(y\) par deux éliminations indépendantes.
Virgules et fractions : multiplier chaque équation par 10, 100 ou un dénominateur commun avant de combiner.
\(0 = k\) avec \(k \neq 0\) : aucune solution ; \(0 = 0\) : infinité de solutions.

Combiner deux équations

Les multiplier par des nombres non nuls puis les additionner ou les soustraire.

Choix des multiplicateurs

Viser le PPCM des coefficients de l'inconnue à éliminer.

Double combinaison

Éliminer \(y\) pour trouver \(x\), puis éliminer \(x\) pour trouver \(y\).

Nettoyer le système

Multiplier tous les termes par 10, 100 ou un dénominateur commun.

Résultat \(0 = 9\)

Égalité impossible : le système n'a aucune solution.