Résolution par combinaison : éliminer une inconnue en additionnant ou en soustrayant les équations
Résolution par combinaison : éliminer une inconnue en additionnant ou en soustrayant les équations
Pour résoudre un système par combinaison, on multiplie si besoin les équations par des nombres bien choisis pour que les coefficients d'une inconnue deviennent égaux ou opposés, puis on additionne ou on soustrait les équations : cette inconnue disparaît et il ne reste qu'une équation à une inconnue.
Objectifs du cours
- Comprendre pourquoi on a le droit d'additionner, de soustraire ou de multiplier des équations.
- Éliminer une inconnue par addition ou par soustraction directe.
- Multiplier une ou deux équations avant de les combiner.
- Reconnaître un système sans solution et résoudre un problème concret par combinaison.
1. Le principe : combiner deux égalités
Les règles qui justifient la méthode
Si deux égalités sont vraies, on peut les combiner :
\[ \begin{align} &\text{si } A = B \text{ et } C = D, \text{ alors } A + C = B + D \text{ et } A - C = B - D \\ &\text{si } A = B \text{ et } k \neq 0, \text{ alors } kA = kB \end{align} \]En remplaçant une équation du système par une telle combinaison (en gardant l'autre), on obtient un système qui a les mêmes solutions. Le but est de choisir la combinaison qui fait disparaître une inconnue.
Pour Salif et Aïcha, avec \( c \) le prix d'un cahier et \( s \) celui d'un stylo :
\[ \begin{cases} c + s = 500 \\ c + 3s = 900 \end{cases} \]On soustrait la première équation de la seconde : \( (c + 3s) - (c + s) = 900 - 500 \), soit \( 2s = 400 \), donc \( s = 200 \), puis \( c = 500 - 200 = 300 \). Un cahier coûte 300 F CFA et un stylo 200 F CFA.
Pour éliminer \( y \) dans le système \( x + y = 12 \) et \( x - y = 4 \), que faut-il faire ?
2. La méthode pas à pas
flowchart TD A[Choisir l inconnue a eliminer] --> B[Multiplier les equations pour avoir des coefficients egaux ou opposes] B --> C[Additionner si opposes ou soustraire si egaux] C --> D[Resoudre l equation a une inconnue] D --> E[Remplacer dans une equation de depart] E --> F[Verifier et conclure]
Exemple résolu 1 : addition directe
Résoudre \( \begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = 4 \end{cases} \). Cherche d'abord.
Avec \( a = -1 \) et \( b = 12 \), les droites d'équations \( y = -x + 12 \) et \( y = x - 4 \) se coupent bien au point \( (8\,;\,4) \). Fais varier \( a \) et \( b \) pour voir le point d'intersection se déplacer.
Exemple résolu 2 : multiplier une seule équation
Résoudre \( \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - y = 3 \end{cases} \).
Exemple résolu 3 : multiplier les deux équations
Résoudre \( \begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} \). Aucun coefficient n'est multiple d'un autre : on multiplie les deux équations. Cherche d'abord.
Voir la solution
Pour éliminer \( x \), on rend ses coefficients égaux à \( 6 \) : la première équation est multipliée par \( 2 \), la seconde par \( 3 \).
\[ \begin{align} 6x + 8y &= 20 \\ 6x + 9y &= 21 \end{align} \]Les coefficients de \( x \) sont égaux : on soustrait la première de la seconde, \( (6x + 9y) - (6x + 8y) = 21 - 20 \), donc \( y = 1 \). Puis \( 3x + 4 \times 1 = 10 \), donc \( 3x = 6 \) et \( x = 2 \). Vérification : \( 3 \times 2 + 4 \times 1 = 10 \) et \( 2 \times 2 + 3 \times 1 = 7 \). Conclusion : \( S = \{(2\,;\,1)\} \).
Dans le système \( 2x + 3y = 8 \) et \( 5x - y = 3 \), par quel nombre faut-il multiplier la seconde équation pour éliminer \( y \) en additionnant ?
3. Cas particuliers et problème concret
Exemple résolu 4 : la librairie
On note \( c \) le prix d'un cahier et \( s \) celui d'un stylo, en F CFA. Cherche d'abord.
Quand les deux inconnues disparaissent
Si la combinaison élimine les deux inconnues à la fois :
- égalité fausse : aucune solution. Exemple : \( \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 9 \end{cases} \). En multipliant la première par \( 2 \) : \( 2x + 4y = 10 \). En soustrayant la seconde : \( 0 = 1 \), ce qui est faux, donc \( S = \varnothing \) (droites parallèles distinctes) ;
- égalité toujours vraie (comme \( 0 = 0 \)) : infinité de solutions, les deux équations représentent la même droite.
Exercices
Exercice 1. Résoudre \( \begin{cases} 4x + y = 9 \\ 2x - y = 3 \end{cases} \).
Voir la solution
Coefficients de \( y \) opposés : on additionne, \( 6x = 12 \), donc \( x = 2 \). Puis \( 4 \times 2 + y = 9 \), donc \( y = 1 \). Vérification : \( 8 + 1 = 9 \) et \( 4 - 1 = 3 \). \( S = \{(2\,;\,1)\} \).
Exercice 2. Résoudre \( \begin{cases} 5x + 2y = 1 \\ 3x - 4y = 11 \end{cases} \).
Voir la solution
On multiplie la première par \( 2 \) : \( 10x + 4y = 2 \). On additionne avec la seconde : \( 13x = 13 \), donc \( x = 1 \). Puis \( 5 + 2y = 1 \), donc \( 2y = -4 \) et \( y = -2 \). Vérification : \( 5 \times 1 + 2 \times (-2) = 1 \) et \( 3 \times 1 - 4 \times (-2) = 3 + 8 = 11 \). \( S = \{(1\,;\,-2)\} \).
En combinant les équations d'un système, on obtient \( 0 = 0 \). Que peut-on conclure ?
Erreurs fréquentes
- Oublier de multiplier le second membre : multiplier \( 5x - y = 3 \) par \( 3 \) donne \( 15x - 3y = 9 \), pas \( 15x - 3y = 3 \).
- Additionner des coefficients égaux : avec \( 6x \) et \( 6x \), l'addition donne \( 12x \) ; il fallait soustraire.
- S'arrêter à une seule inconnue : la solution est un couple, il faut calculer l'autre inconnue.
- Ne pas vérifier : remplacer le couple dans les deux équations de départ, pas dans les équations multipliées seulement.
Récapitulatif
- On peut additionner ou soustraire deux équations membre à membre, et multiplier une équation par un nombre non nul.
- Méthode : rendre égaux ou opposés les coefficients d'une inconnue, puis soustraire ou additionner pour l'éliminer.
- On résout l'équation à une inconnue, on remplace dans une équation de départ, on vérifie et on conclut.
- Égalité fausse (\( 0 = 1 \)) : aucune solution ; égalité toujours vraie (\( 0 = 0 \)) : infinité de solutions.
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