Résolution par substitution

Substituer, c'est remplacer : on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on la remplace dans la deuxième pour n'avoir plus qu'une seule inconnue.

Objectifs

Reconnaître un système de deux équations à deux inconnues et ce qu'est sa solution.
Isoler une inconnue dans une équation en choisissant la plus simple.
Remplacer cette expression dans l'autre équation et résoudre.
Vérifier la solution et reconnaître les cas sans solution ou avec une infinité de solutions.

1. Système et solution

Un système de deux équations à deux inconnues \(x\) et \(y\) s'écrit :

\[\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\]

Une solution est un couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations en même temps.

Quel couple est solution du système \(\begin{cases} x + y = 9 \\ y = 2x \end{cases}\) ?

\((2\,;\,7)\)
\((3\,;\,6)\)
\((4\,;\,8)\)

\(3 + 6 = 9\) et \(6 = 2 \times 3\) : les deux équations sont vérifiées. \((2\,;\,7)\) ne vérifie pas \(y = 2x\), et \((4\,;\,8)\) donne \(4 + 8 = 12 \neq 9\).

2. La méthode de substitution

La méthode tient en quatre étapes :

flowchart LR
  A[Isoler une inconnue] --> B[Remplacer dans l autre equation]
  B --> C[Resoudre l equation a une inconnue]
  C --> D[Calculer l autre inconnue]
  D --> E[Verifier et conclure]

Exemple résolu 1

Résoudre \(\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x - y = 9 \end{cases}\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

On isole \(y\) dans la première équation : \(y = 12 - x\).

On remplace \(y\) dans la seconde : \(2x - (12 - x) = 9\).

On résout : \[\begin{aligned} 2x - 12 + x &= 9 \\ 3x &= 21 \\ x &= 7 \end{aligned}\]

On calcule \(y\) : \(y = 12 - 7 = 5\).

Vérification : \(7 + 5 = 12\) et \(2 \times 7 - 5 = 9\). La solution est le couple \((7\,;\,5)\).

Exemple résolu 2 : le marché de Bamako

On note \(m\) le prix d'une mangue et \(a\) celui d'un avocat, en F CFA. Le système est \(\begin{cases} 3m + 2a = 1100 \\ m + a = 450 \end{cases}\). Cherche d'abord.

La seconde équation est la plus simple : \(a = 450 - m\).

On remplace dans la première : \(3m + 2(450 - m) = 1100\).

On développe et on résout : \[\begin{aligned} 3m + 900 - 2m &= 1100 \\ m &= 200 \end{aligned}\]

Puis \(a = 450 - 200 = 250\).

Vérification : \(3 \times 200 + 2 \times 250 = 600 + 500 = 1100\) et \(200 + 250 = 450\). Une mangue coûte 200 F CFA et un avocat 250 F CFA.

Dans le système \(\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}\), quelle inconnue est-il le plus simple d'isoler ?

\(y\) dans la première équation : \(y = 7 - 3x\).
\(x\) dans la première équation : \(x = \dfrac{7 - y}{3}\).
\(x\) dans la seconde équation : \(x = \dfrac{8 + 2y}{5}\).

\(y\) a pour coefficient \(1\) dans la première équation : on l'isole sans fraction, ce qui limite les erreurs de calcul.

3. Quand il faut diviser

Exemple résolu 3

Résoudre \(\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 4x - y = 5 \end{cases}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

Dans la seconde équation, \(-y\) a pour coefficient \(-1\) : \(4x - y = 5\) donne \(y = 4x - 5\).

\[\begin{aligned} 2x + 3(4x - 5) &= 13 \\ 2x + 12x - 15 &= 13 \\ 14x &= 28 \\ x &= 2 \end{aligned}\]

Puis \(y = 4 \times 2 - 5 = 3\). Vérification : \(2 \times 2 + 3 \times 3 = 4 + 9 = 13\) et \(4 \times 2 - 3 = 5\). Solution : \((2\,;\,3)\).

Exercice : à toi de jouer

Résoudre \(\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}\).

Voir la solution

\(y = 7 - 3x\), puis \(5x - 2(7 - 3x) = 8\), soit \(5x - 14 + 6x = 8\), donc \(11x = 22\) et \(x = 2\).

\(y = 7 - 3 \times 2 = 1\). Vérification : \(3 \times 2 + 1 = 7\) et \(5 \times 2 - 2 \times 1 = 8\). Solution : \((2\,;\,1)\).

On a isolé \(y = 4x - 5\) et on le remplace dans \(2x + 3y = 13\). Quelle équation obtient-on correctement ?

\(2x + 12x - 5 = 13\)
\(2x + 3 \times 4x = 13\)
\(2x + 12x - 15 = 13\)

Le \(3\) multiplie toute l'expression : \(3(4x - 5) = 12x - 15\). Il ne faut oublier ni les parenthèses ni le terme \(-5\).

4. Ce que la substitution montre sur un graphique

Pour l'exemple 1, \(x + y = 12\) s'écrit \(y = 12 - x\) et \(2x - y = 9\) s'écrit \(y = 2x - 9\). Déplace le curseur \(c\) (la valeur du second membre de la première équation) et observe le point de rencontre. Avec \(c = 12\), les droites se croisent en \((7\,;\,5)\).

5. Cas particuliers

Parfois, après le remplacement, l'inconnue disparaît :

On obtient une égalité fausse (comme \(6 = 5\)) : le système n'a aucune solution.
On obtient une égalité toujours vraie (comme \(6 = 6\)) : le système a une infinité de solutions.

Exemple résolu 4

Résoudre \(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 5 \end{cases}\). Cherche d'abord.

On isole \(y = 3 - x\).

On remplace : \(2x + 2(3 - x) = 5\), soit \(2x + 6 - 2x = 5\).

On obtient \(6 = 5\), ce qui est faux : le système n'a aucune solution.

Après substitution dans \(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}\), on obtient \(6 = 6\). Que conclure ?

Le système n'a aucune solution.
Le système a une infinité de solutions : tous les couples avec \(x + y = 3\).
La seule solution est \((0\,;\,0)\).

La seconde équation est la première multipliée par \(2\) : c'est la même information. Tous les couples qui vérifient \(x + y = 3\) conviennent.

Erreurs fréquentes

Oublier les parenthèses lors du remplacement : \(2(450 - m)\) et non \(2 \times 450 - m\).
Remplacer dans la même équation que celle où l'on a isolé l'inconnue : on obtient alors \(0 = 0\) sans rien apprendre.
S'arrêter après avoir trouvé \(x\) : il faut aussi calculer \(y\).
Ne pas vérifier la solution dans les deux équations.
Écrire la solution dans le désordre : le couple s'écrit \((x\,;\,y)\).

Récapitulatif

Une solution d'un système est un couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations.
Substitution : isoler une inconnue, la remplacer dans l'autre équation, résoudre, calculer l'autre inconnue, vérifier.
Choisir l'inconnue de coefficient \(1\) ou \(-1\) pour éviter les fractions.
Égalité fausse : aucune solution ; égalité toujours vraie : infinité de solutions.

Solution d'un système

Un couple \((x\,;\,y)\) qui vérifie les deux équations à la fois.

Substituer

Remplacer une inconnue par son expression en fonction de l'autre, par exemple \(y = 12 - x\).

Quelle inconnue isoler ?

Celle dont le coefficient est \(1\) ou \(-1\) : pas de fraction.

Égalité fausse (\(6 = 5\))

Le système n'a aucune solution.

Égalité toujours vraie (\(6 = 6\))

Le système a une infinité de solutions.