Résolution par substitution : la méthode pas à pas, des cas particuliers aux problèmes concrets

Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues par substitution, on isole une inconnue dans une équation, on la remplace par son expression dans l'autre équation, on résout l'équation à une inconnue obtenue, puis on calcule l'autre inconnue et on vérifie.

Objectifs du cours

Savoir ce qu'est une solution d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues.
Appliquer la méthode de substitution en choisissant l'inconnue la plus simple à isoler.
Reconnaître les cas où le système n'a aucune solution ou une infinité de solutions.
Mettre un problème concret en équations et le résoudre par substitution.

1. Système et solution

Définitions

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues \( x \) et \( y \) s'écrit :

\[ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} \]

où \( a, b, c, a', b', c' \) sont des nombres réels donnés. Une solution du système est un couple \( (x\,;\,y) \) qui vérifie les deux équations en même temps. Résoudre le système, c'est trouver toutes ses solutions.

Exemple : le couple \( (5\,;\,5) \) est solution de \( \begin{cases} x + y = 10 \\ 2x - y = 5 \end{cases} \) car \( 5 + 5 = 10 \) et \( 2 \times 5 - 5 = 5 \). En revanche, \( (7\,;\,3) \) vérifie la première équation (\( 7 + 3 = 10 \)) mais pas la seconde (\( 14 - 3 = 11 \neq 5 \)) : ce n'est pas une solution.

Avec \( m = -1 \) et \( p = 10 \), les deux droites se coupent au point \( (5\,;\,5) \). Fais varier \( m \) : quand \( m = 2 \), les droites sont parallèles, et elles n'ont plus de point commun si \( p \neq -5 \).

Lequel de ces couples est solution du système formé par \( x + y = 10 \) et \( 2x - y = 5 \) ?

\( (7\,;\,3) \)
\( (6\,;\,3) \)
\( (5\,;\,5) \)

Seul \( (5\,;\,5) \) vérifie les deux équations : \( 5 + 5 = 10 \) et \( 10 - 5 = 5 \). Le couple \( (7\,;\,3) \) ne vérifie que la première ; \( (6\,;\,3) \) n'en vérifie aucune (\( 9 \neq 10 \) et \( 9 \neq 5 \)).

2. La méthode de substitution

Les étapes

flowchart TD
  A[Choisir une equation et une inconnue facile a isoler] --> B[Isoler cette inconnue]
  B --> C[Remplacer son expression dans l autre equation]
  C --> D[Resoudre l equation a une inconnue]
  D --> E[Calculer l autre inconnue]
  E --> F[Verifier dans les deux equations et conclure]

Exemple résolu 1

Résoudre \( \begin{cases} x + y = 10 \\ 2x - y = 5 \end{cases} \). Cherche d'abord, puis déroule les étapes.

Isoler : dans la première équation, \( y \) a pour coefficient 1, donc \( y = 10 - x \).

Substituer dans la seconde : \( 2x - (10 - x) = 5 \). Les parenthèses sont indispensables.

Résoudre : \( 2x - 10 + x = 5 \), donc \( 3x = 15 \), donc \( x = 5 \).

Calculer l'autre inconnue : \( y = 10 - 5 = 5 \).

Vérifier : \( 5 + 5 = 10 \) et \( 2 \times 5 - 5 = 5 \). Conclusion : \( S = \{(5\,;\,5)\} \).

Exemple résolu 2

Résoudre \( \begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x - 4y = -4 \end{cases} \).

Isoler : dans la seconde équation, \( x \) a pour coefficient 1, donc \( x = 4y - 4 \).

Substituer dans la première : \( 3(4y - 4) + 2y = 16 \).

Résoudre : \[ \begin{align} 12y - 12 + 2y &= 16 \\ 14y &= 28 \\ y &= 2 \end{align} \]

Calculer l'autre inconnue : \( x = 4 \times 2 - 4 = 4 \).

Vérifier : \( 3 \times 4 + 2 \times 2 = 16 \) et \( 4 - 4 \times 2 = -4 \). Conclusion : \( S = \{(4\,;\,2)\} \).

Exemple résolu 3 : aucune inconnue de coefficient 1

Résoudre \( \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 7 \end{cases} \). Ici \( y \) a pour coefficient \( -1 \) dans la seconde équation : on l'isole.

Voir la solution

\[ \begin{align} 4x - y = 7 &\iff y = 4x - 7 \\ 2x + 3(4x - 7) &= 7 \\ 2x + 12x - 21 &= 7 \\ 14x &= 28 \\ x &= 2 \end{align} \]

Puis \( y = 4 \times 2 - 7 = 1 \). Vérification : \( 2 \times 2 + 3 \times 1 = 7 \) et \( 4 \times 2 - 1 = 7 \). Donc \( S = \{(2\,;\,1)\} \).

Dans le système \( 3x + 2y = 16 \) et \( x - 4y = -4 \), quelle substitution est la plus simple ?

Isoler \( x \) dans la seconde équation : \( x = 4y - 4 \)
Isoler \( x \) dans la première équation : \( x = \frac{16 - 2y}{3} \)
Isoler \( y \) dans la seconde équation : \( y = \frac{x + 4}{4} \)

Dans la seconde équation, \( x \) a pour coefficient 1 : on l'isole sans fraction. Les deux autres choix sont justes mais font apparaître des fractions.

3. Cas particuliers et problèmes concrets

Quand l'inconnue disparaît

Parfois, après substitution, l'inconnue disparaît de l'équation. Deux situations se présentent :

On obtient une égalité fausse : le système n'a aucune solution, les droites sont parallèles et distinctes. Exemple : \( \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases} \). On isole \( y = 3 - x \), puis \( 2x + 2(3 - x) = 8 \), soit \( 6 = 8 \) : c'est faux, donc \( S = \varnothing \).
On obtient une égalité toujours vraie : le système a une infinité de solutions, les deux équations représentent la même droite. Exemple : \( \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases} \) donne \( 6 = 6 \) ; toutes les solutions sont les couples \( (x\,;\,3 - x) \).

Exemple résolu 4 : les légumes du marché Sandaga

Reprenons Awa et Moussa. On note \( t \) le prix d'un kilo de tomates et \( o \) le prix d'un kilo d'oignons, en F CFA. Cherche d'abord.

Mise en équations : \( \begin{cases} 2t + 3o = 2\,300 \\ t + 2o = 1\,400 \end{cases} \)

Isoler \( t \) dans la seconde équation : \( t = 1\,400 - 2o \).

Substituer : \( 2(1\,400 - 2o) + 3o = 2\,300 \), soit \( 2\,800 - 4o + 3o = 2\,300 \), donc \( -o = -500 \) et \( o = 500 \).

Calculer \( t \) : \( t = 1\,400 - 2 \times 500 = 400 \).

Vérifier : \( 2 \times 400 + 3 \times 500 = 800 + 1\,500 = 2\,300 \) et \( 400 + 2 \times 500 = 1\,400 \). Conclusion : le kilo de tomates coûte 400 F CFA et le kilo d'oignons 500 F CFA.

Exercices

Exercice 1. Résoudre \( \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x + y = 10 \end{cases} \).

Voir la solution

On isole \( x = 2y + 1 \) puis \( 3(2y + 1) + y = 10 \), soit \( 7y + 3 = 10 \), donc \( y = 1 \) et \( x = 3 \). Vérification : \( 3 - 2 = 1 \) et \( 9 + 1 = 10 \). \( S = \{(3\,;\,1)\} \).

Exercice 2. Une classe de seconde de Bouaké compte 40 élèves. Il y a 6 filles de plus que de garçons. Combien y a-t-il de filles et de garçons ?

Voir la solution

Avec \( f \) filles et \( g \) garçons : \( \begin{cases} f + g = 40 \\ f = g + 6 \end{cases} \). La seconde équation donne déjà \( f \) isolé : \( (g + 6) + g = 40 \), donc \( 2g = 34 \), \( g = 17 \) et \( f = 23 \). Vérification : \( 23 + 17 = 40 \) et \( 23 - 17 = 6 \).

Après substitution, on obtient l'égalité \( 0 = 5 \). Que peut-on conclure ?

Le système a une infinité de solutions
Le système n'a aucune solution
La solution est \( x = 0 \) et \( y = 5 \)

L'égalité \( 0 = 5 \) est fausse quelle que soit la valeur de l'inconnue : aucun couple ne vérifie le système. Les deux droites sont parallèles et distinctes.

Erreurs fréquentes

Remplacer dans la même équation : l'expression isolée doit être substituée dans l'autre équation, sinon on obtient une égalité toujours vraie qui n'apprend rien.
Oublier la seconde inconnue : la solution est un couple, il faut donner \( x \) et \( y \).
Ne pas vérifier : remplacer le couple dans les deux équations détecte presque toutes les erreurs de calcul.
Confondre les deux cas particuliers : égalité fausse signifie aucune solution ; égalité toujours vraie signifie une infinité de solutions.

Récapitulatif

Une solution d'un système est un couple \( (x\,;\,y) \) qui vérifie les deux équations : c'est le point d'intersection des deux droites.
Méthode : isoler une inconnue, la substituer dans l'autre équation, résoudre, calculer l'autre inconnue, vérifier, conclure.
On isole de préférence une inconnue de coefficient \( 1 \) ou \( -1 \).
Égalité fausse : aucune solution ; égalité toujours vraie : infinité de solutions.

Solution d'un système

Couple \( (x\,;\,y) \) qui vérifie les deux équations à la fois.

Substituer

Remplacer une inconnue par l'expression qui lui est égale, dans l'autre équation.

Quelle inconnue isoler ?

Celle de coefficient \( 1 \) ou \( -1 \), pour éviter les fractions.

Égalité fausse (ex. \( 6 = 8 \))

Aucune solution : droites parallèles et distinctes.

Égalité toujours vraie (ex. \( 6 = 6 \))

Infinité de solutions : les deux équations donnent la même droite.