Objectifs

• Reconnaître un système de deux équations du premier degré à deux inconnues et ce qu'est sa solution.
• Résoudre un système par la méthode de substitution.
• Résoudre un système par la méthode de combinaison (addition).
• Savoir à l'avance si un système a une seule solution grâce au déterminant.
• Mettre un problème de la vie courante en équations et le résoudre.

1. Système et couple solution

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues \(x\) et \(y\) s'écrit : \[\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\] où \(a, b, c, a', b', c'\) sont des réels donnés.

Résoudre le système dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), c'est trouver tous les couples \((x ; y)\) qui vérifient les deux équations en même temps.

Chaque équation \(ax + by = c\) (avec \(b \neq 0\)) est l'équation d'une droite. La solution du système correspond au point d'intersection des deux droites. Bouge le curseur \(c\) : la première droite \(y = -x + c\) glisse ; observe où elle coupe la droite \(y = 2x - 1\).

Pour \(c = 5\), les droites se coupent au point \((2 ; 3)\) : c'est la solution du système \(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\). Vérifions : \(2 + 3 = 5\) et \(2 \times 2 - 3 = 1\).

2. La méthode de substitution

La méthode

1. Dans l'une des équations, on isole une inconnue (de préférence celle qui a pour coefficient 1 ou \(-1\)).
2. On remplace cette inconnue par son expression dans l'autre équation : on obtient une équation à une seule inconnue.
3. On résout cette équation.
4. On calcule l'autre inconnue, puis on vérifie dans les deux équations.

Exemple résolu : les beignets de Fatou

Appelons \(b\) le prix d'un beignet et \(j\) le prix d'un jus (en F CFA). Résous \(\begin{cases} 2b + j = 350 \\ b + 3j = 550 \end{cases}\). Cherche d'abord.

3. La méthode de combinaison

La méthode

1. On multiplie chaque équation par un nombre bien choisi pour que les coefficients d'une même inconnue deviennent opposés.
2. On additionne les deux équations membre à membre : cette inconnue disparaît.
3. On résout l'équation obtenue, puis on calcule l'autre inconnue en remplaçant dans une équation de départ.
4. On vérifie.

Exemple résolu 1 : coefficients déjà opposés

Résous \(\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases}\). Cherche d'abord.

Exemple résolu 2 : il faut multiplier

Résous \(\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x - 4y = -6 \end{cases}\). Cherche d'abord.

flowchart TD
A[Système à résoudre] --> B{Un coefficient vaut 1 ou -1}
B -->|oui| C[Substitution]
B -->|non| D[Combinaison]
C --> E[Une équation à une inconnue]
D --> E
E --> F[Calculer l autre inconnue]
F --> G[Vérifier dans les deux équations]

4. Combien de solutions ? Le déterminant

Le déterminant du système \(\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\) est le nombre \[\Delta = ab' - a'b\]

• Si \(\Delta \neq 0\) : le système a une unique solution (les droites se coupent en un point).
• Si \(\Delta = 0\) : les droites sont parallèles. Le système n'a aucune solution (droites strictement parallèles) ou une infinité (droites confondues).

Exemple résolu

Combien de solutions a le système \(\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 5 \end{cases}\) ? Cherche d'abord.

5. Résoudre un problème

Démarche : 1) choisir les inconnues ; 2) traduire chaque phrase par une équation ; 3) résoudre ; 4) vérifier et répondre par une phrase.

Erreurs fréquentes

• Oublier les parenthèses lors de la substitution.
• Ne multiplier que le premier membre d'une équation dans la combinaison.
• Additionner alors que les coefficients sont égaux et non opposés (dans ce cas, il faut soustraire).
• S'arrêter après avoir trouvé une seule inconnue : la solution est un couple \((x ; y)\).
• Ne pas vérifier dans les deux équations.

Récapitulatif

• La solution d'un système est un couple qui vérifie les deux équations ; c'est le point commun des deux droites.
• Substitution : isoler une inconnue, la remplacer (entre parenthèses) dans l'autre équation.
• Combinaison : rendre des coefficients opposés, additionner pour éliminer une inconnue.
• Déterminant \(\Delta = ab' - a'b\) : s'il est non nul, il y a une unique solution.
• Toujours vérifier et conclure par une phrase.