Résolution par substitution : préparer le système, choisir l'inconnue à isoler et résoudre des problèmes

On isole l'inconnue la plus facile à isoler, on remplace son expression dans l'autre équation, on résout, on revient chercher la seconde inconnue, puis on vérifie : et avant tout cela, on « nettoie » le système s'il contient des parenthèses ou des fractions.

Objectifs

Choisir, en regardant les coefficients, l'inconnue qu'il vaut mieux isoler.
Préparer un système (développer, chasser les fractions) avant d'appliquer la substitution.
Traduire un problème de la vie courante par un système, le résoudre et interpréter la réponse.
Vérifier une solution dans les deux équations de départ.

1. La méthode en cinq gestes

Un système de deux équations à deux inconnues \(x\) et \(y\) s'écrit \(\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\). Sa solution est un couple \((x ; y)\) qui vérifie les deux équations en même temps.

Substituer veut dire « mettre à la place de ». La méthode se fait en cinq gestes :

flowchart LR
  A[Preparer le systeme] --> B[Isoler une inconnue]
  B --> C[Remplacer dans l autre equation]
  C --> D[Resoudre l equation a une inconnue]
  D --> E[Calculer la seconde inconnue]
  E --> F[Verifier et conclure]

Exemple résolu 1 : une inconnue déjà isolée

Résous \(\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 5x - 2y = 1 \end{cases}\). Cherche d'abord seul, puis dévoile les étapes.

La 1re équation donne déjà \(y\) en fonction de \(x\) : \(y = 3x - 2\). Rien à préparer.

On remplace \(y\) par \((3x - 2)\) dans la 2e équation, avec des parenthèses : \(5x - 2(3x - 2) = 1\).

On développe et on résout : \(5x - 6x + 4 = 1 \iff -x = -3 \iff x = 3\).

On revient à \(y = 3x - 2\) : \(y = 3 \times 3 - 2 = 7\).

Vérification dans la 2e équation : \(5 \times 3 - 2 \times 7 = 15 - 14 = 1\). Donc \(S = \{(3 ; 7)\}\).

Dans le système \(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}\), que devient la 2e équation après substitution ?

\(3x + 2x = 11\)
\(3x + (2x + 1) = 11\)
\(3(2x + 1) + y = 11\)

On remplace \(y\) (et seulement \(y\)) par son expression \(2x + 1\). On obtient \(5x + 1 = 11\), donc \(x = 2\) et \(y = 5\).

2. Bien choisir l'inconnue à isoler

On regarde les quatre coefficients et on choisit, dans l'ordre de préférence :

une inconnue de coefficient \(1\) ou \(-1\) : on l'isole sans division ;
sinon, une inconnue dont le coefficient divise tous les autres termes de son équation ;
sinon, n'importe laquelle : on accepte des fractions (ou on préfère la méthode par combinaison).

Exemple résolu 2 : comparer deux choix

Résous \(\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 4x - y = 3 \end{cases}\). Quelle inconnue isoles-tu ? Cherche d'abord.

Voir la solution

Dans la 2e équation, \(y\) a pour coefficient \(-1\) : c'est le meilleur choix. \(4x - y = 3 \iff y = 4x - 3\).

Si l'on isolait \(x\) dans la 1re, on obtiendrait \(x = \dfrac{16 - 2y}{3}\) : des fractions dès le départ.

On remplace dans la 1re équation :

\begin{align} 3x + 2(4x - 3) &= 16 \\ 3x + 8x - 6 &= 16 \\ 11x &= 22 \\ x &= 2 \end{align}

Puis \(y = 4 \times 2 - 3 = 5\). Vérification : \(3 \times 2 + 2 \times 5 = 16\) et \(4 \times 2 - 5 = 3\). Donc \(S = \{(2 ; 5)\}\).

Exemple résolu 3 : diviser d'abord

Résous \(\begin{cases} 2x + 6y = 10 \\ 3x - 5y = 1 \end{cases}\). Aucun coefficient ne vaut 1. Cherche d'abord une équation que l'on peut simplifier.

Tous les termes de la 1re équation sont divisibles par 2 : \(2x + 6y = 10 \iff x + 3y = 5 \iff x = 5 - 3y\).

On remplace dans la 2e : \(3(5 - 3y) - 5y = 1 \iff 15 - 9y - 5y = 1 \iff -14y = -14 \iff y = 1\).

Puis \(x = 5 - 3 \times 1 = 2\).

Vérification : \(2 \times 2 + 6 \times 1 = 10\) et \(3 \times 2 - 5 \times 1 = 1\). Donc \(S = \{(2 ; 1)\}\).

Dans \(\begin{cases} 4x + y = 9 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}\), quelle est l'écriture correcte de \(y\) isolé dans la 1re équation ?

\(y = 9 - 4x\)
\(y = 4x - 9\)
\(y = 9 + 4x\)

On retire \(4x\) des deux membres : \(y = 9 - 4x\). En remplaçant ensuite : \(3x + 2(9 - 4x) = 8\), donc \(-5x = -10\), \(x = 2\) et \(y = 1\).

3. Préparer le système avant de substituer

Deux préparations fréquentes :

Parenthèses : on développe, puis on regroupe les termes en \(x\) et en \(y\) à gauche et les nombres à droite.
Fractions : on multiplie tous les termes de l'équation (les deux membres) par un dénominateur commun.

Exemple résolu 4 : parenthèses et fractions

Résous \(\begin{cases} 2(x + 1) - y = 7 \\ \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 3 \end{cases}\). Cherche d'abord à écrire chaque équation sans parenthèses ni fractions.

1re équation : \(2x + 2 - y = 7 \iff 2x - y = 5\).

2e équation : on multiplie les deux membres par 6 : \(6 \times \dfrac{x}{2} + 6 \times \dfrac{y}{3} = 6 \times 3 \iff 3x + 2y = 18\).

Le système devient \(\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x + 2y = 18 \end{cases}\). On isole \(y\) : \(y = 2x - 5\).

On remplace : \(3x + 2(2x - 5) = 18 \iff 7x - 10 = 18 \iff 7x = 28 \iff x = 4\). Puis \(y = 2 \times 4 - 5 = 3\).

Vérification dans le système de départ : \(2(4 + 1) - 3 = 7\) et \(\dfrac{4}{2} + \dfrac{3}{3} = 2 + 1 = 3\). Donc \(S = \{(4 ; 3)\}\).

On multiplie l'équation \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 5\) par 6. On obtient :

\(2x + 3y = 5\)
\(2x + 3y = 30\)
\(3x + 2y = 30\)

\(6 \times \dfrac{x}{3} = 2x\), \(6 \times \dfrac{y}{2} = 3y\) et \(6 \times 5 = 30\). Tous les termes sont multipliés, le second membre aussi.

4. Mettre un problème en système

Pour traduire un énoncé :

on nomme les inconnues avec une phrase (« \(x\) = nombre de billets de 1 000 F ») ;
on écrit une équation par information de l'énoncé ;
on résout, puis on vérifie avec l'énoncé et on répond par une phrase avec l'unité.

Exemple résolu 5 : les billets de Fatou

Fatou a 14 billets, des billets de 1 000 F et des billets de 500 F, pour un total de 10 000 F. Combien a-t-elle de billets de chaque sorte ? Cherche d'abord le système.

Voir la solution

Soit \(x\) le nombre de billets de 1 000 F et \(y\) le nombre de billets de 500 F.

\[\begin{cases} x + y = 14 \\ 1000x + 500y = 10000 \end{cases}\]

On isole \(y = 14 - x\) et on remplace :

\begin{align} 1000x + 500(14 - x) &= 10000 \\ 1000x + 7000 - 500x &= 10000 \\ 500x &= 3000 \\ x &= 6 \end{align}

Puis \(y = 14 - 6 = 8\). Vérification : \(6 + 8 = 14\) billets et \(6000 + 4000 = 10000\) F.

Réponse : Fatou a 6 billets de 1 000 F et 8 billets de 500 F.

Exemple résolu 6 : l'âge de Kofi et de sa sœur

Kofi a deux fois l'âge de sa sœur Ama. Dans 5 ans, la somme de leurs âges sera 40 ans. Quel âge ont-ils aujourd'hui ? Cherche d'abord.

Soit \(x\) l'âge de Kofi et \(y\) l'âge d'Ama aujourd'hui. « Deux fois l'âge » : \(x = 2y\). « Dans 5 ans » : \((x + 5) + (y + 5) = 40\).

\(x\) est déjà isolé ; on remplace : \((2y + 5) + (y + 5) = 40 \iff 3y + 10 = 40 \iff y = 10\).

Puis \(x = 2 \times 10 = 20\).

Vérification : 20 est bien le double de 10, et dans 5 ans \(25 + 15 = 40\). Kofi a 20 ans et Ama 10 ans.

Exemple résolu 7 : le champ de Yacouba

Le champ rectangulaire de Yacouba a un périmètre de 260 m, et sa longueur dépasse sa largeur de 30 m. Trouve ses dimensions. Cherche d'abord.

Voir la solution

Soit \(L\) la longueur et \(\ell\) la largeur, en mètres : \(\begin{cases} 2(L + \ell) = 260 \\ L = \ell + 30 \end{cases}\).

Préparation : \(2(L + \ell) = 260 \iff L + \ell = 130\). On remplace \(L\) : \((\ell + 30) + \ell = 130 \iff 2\ell = 100 \iff \ell = 50\), puis \(L = 80\).

Vérification : \(2 \times (80 + 50) = 260\) et \(80 - 50 = 30\). Le champ mesure 80 m sur 50 m.

Un sac de riz et un bidon d'huile coûtent ensemble 25 000 F, et le sac coûte 4 fois le prix du bidon. On note \(x\) le prix du sac et \(y\) celui du bidon. Quel système traduit l'énoncé ?

\(\begin{cases} x + y = 25000 \\ x = 4y \end{cases}\)
\(\begin{cases} x + y = 25000 \\ y = 4x \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4x + y = 25000 \\ x = y \end{cases}\)

Le sac (\(x\)) vaut 4 fois le bidon (\(y\)) : \(x = 4y\). Alors \(5y = 25000\), le bidon coûte 5 000 F et le sac 20 000 F.

Erreurs fréquentes

Oublier les parenthèses en remplaçant : \(5x - 2(3x - 2)\) donne \(5x - 6x + 4\) ; sans parenthèses on écrirait à tort \(5x - 6x - 2\).
Remplacer dans la même équation que celle où l'on a isolé l'inconnue : on obtient \(0 = 0\) ou une égalité inutile. On remplace toujours dans l'autre équation.
S'arrêter après la première inconnue : la solution est un couple, il faut aussi calculer la seconde.
Chasser les fractions sur un seul membre : on multiplie tous les termes, second membre compris.
Mal nommer les inconnues dans un problème : écris toujours la phrase « \(x\) = … » avant le système, puis réponds avec l'unité (F CFA, ans, mètres).

Récapitulatif

Préparer : développer les parenthèses, chasser les fractions, écrire \(ax + by = c\).
Isoler de préférence une inconnue de coefficient \(1\) ou \(-1\), ou après une division simple.
Remplacer, entre parenthèses, dans l'autre équation, puis résoudre l'équation à une inconnue.
Calculer la seconde inconnue, vérifier dans le système de départ et écrire \(S = \{(x ; y)\}\).
Pour un problème : nommer les inconnues, une équation par information, réponse en phrase avec l'unité.

Substituer

Remplacer une inconnue par son expression en fonction de l'autre, dans l'autre équation.

Quelle inconnue isoler ?

Celle de coefficient \(1\) ou \(-1\) ; sinon, simplifier l'équation par une division.

Préparer le système

Développer et multiplier tous les termes par un dénominateur commun.

Solution d'un système

Un couple \((x ; y)\) qui vérifie les deux équations.

Mise en équations

Nommer les inconnues, une équation par information, vérifier avec l'énoncé.