Résoudre graphiquement un système de deux équations à deux inconnues

Chaque équation du système est une droite : résoudre le système, c'est chercher le ou les points communs aux deux droites ; elles peuvent se couper en un point, être parallèles ou être confondues.

Objectifs

Associer à chaque équation \(ax + by = c\) une droite du plan et la tracer à partir de deux points.
Lire la solution d'un système sur le graphique (point d'intersection) et la vérifier par le calcul.
Reconnaître les trois cas : une solution, aucune solution, une infinité de solutions.
Prévoir le cas sans tracer, grâce au déterminant \(ab' - a'b\).

1. Une équation à deux inconnues est une droite

Une équation du premier degré à deux inconnues s'écrit \(ax + by = c\), avec \(a\) et \(b\) non nuls tous les deux. L'ensemble des couples \((x ; y)\) qui la vérifient est une droite du plan muni d'un repère.

Si \(b \neq 0\), on isole \(y\) : \(y = -\dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\). C'est l'équation réduite \(y = mx + p\) : \(m\) est le coefficient directeur et \(p\) l'ordonnée à l'origine.
Si \(b = 0\), l'équation devient \(x = \dfrac{c}{a}\) : c'est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Exemple résolu 1 : tracer la droite \(2x - y = 1\)

Cherche d'abord deux points de cette droite, puis dévoile les étapes.

On isole \(y\) : \(2x - y = 1 \iff y = 2x - 1\).

Pour \(x = 0\) : \(y = 2 \times 0 - 1 = -1\). Point \(A(0 ; -1)\).

Pour \(x = 1\) : \(y = 2 \times 1 - 1 = 1\). Point \(B(1 ; 1)\).

Vérification avec \(x = 2\) : \(y = 3\) et \(2 \times 2 - 3 = 1\). On trace la droite \((AB)\).

Quel point appartient à la droite d'équation \(x + y = 5\) ?

\((2 ; 2)\)
\((5 ; 5)\)
\((1 ; 4)\)

On remplace : \(1 + 4 = 5\), l'égalité est vraie. Pour \((2 ; 2)\) on obtient 4 et pour \((5 ; 5)\) on obtient 10.

2. Lire la solution : le point d'intersection

Résoudre le système \(\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\), c'est trouver tous les couples \((x ; y)\) qui vérifient les deux équations en même temps. Graphiquement, ce sont les points communs aux deux droites \(D\) et \(D'\).

Exemple résolu 2 : le système \(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)

On trace \(D\) : \(x + y = 5\) donne \(y = -x + 5\), qui passe par \((0 ; 5)\) et \((5 ; 0)\).

On trace \(D'\) : \(y = 2x - 1\), qui passe par \((0 ; -1)\) et \((1 ; 1)\).

Les deux droites se coupent en \(I(2 ; 3)\) : on lit ses coordonnées sur les axes.

Cherche d'abord à vérifier la lecture graphique par le calcul.

Voir la solution

On additionne membre à membre les deux équations pour éliminer \(y\) :

\[(x + y) + (2x - y) = 5 + 1 \iff 3x = 6 \iff x = 2.\]

Puis \(y = 5 - x = 3\). Vérification dans la 2e équation : \(2 \times 2 - 3 = 1\). La solution est le couple \((2 ; 3)\) : \(S = \{(2 ; 3)\}\).

Exemple résolu 3 : quand la lecture n'est qu'approchée

Système \(\begin{cases} x + y = 3 \\ x - 2y = 1 \end{cases}\). Sur le graphique, on lit un point d'intersection proche de \((2{,}3 ; 0{,}7)\). Cherche d'abord la valeur exacte.

On soustrait la 2e équation à la 1re : \((x + y) - (x - 2y) = 3 - 1\), donc \(3y = 2\) et \(y = \dfrac{2}{3}\).

Puis \(x = 3 - y = 3 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3}\).

Vérification : \(\dfrac{7}{3} - 2 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} = 1\). Donc \(S = \left\{\left(\dfrac{7}{3} ; \dfrac{2}{3}\right)\right\}\) : la lecture \((2{,}3 ; 0{,}7)\) n'en était qu'une valeur approchée.

Manipule la droite rouge \(y = ax + b\) : la droite bleue \(y = -x + 5\) reste fixe. Observe ce qui arrive au point d'intersection quand \(a\) vaut \(-1\).

Deux droites se coupent au point \((-1 ; 4)\). Que peut-on dire du système formé par leurs équations ?

Il a une seule solution : le couple \((-1 ; 4)\).
Il a deux solutions : \(x = -1\) et \(y = 4\).
Il n'a pas de solution.

La solution d'un système à deux inconnues est un couple : ici un seul point commun, donc un seul couple \((-1 ; 4)\).

3. Les trois cas possibles

Position des droites	Coefficients directeurs	Solutions du système
Sécantes (elles se coupent)	\(m \neq m'\)	une seule solution : le point d'intersection
Strictement parallèles	\(m = m'\) et \(p \neq p'\)	aucune solution : \(S = \varnothing\)
Confondues (la même droite)	\(m = m'\) et \(p = p'\)	une infinité de solutions : tous les points de la droite

Exemple résolu 4 : droites parallèles

Système \(\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 10 \end{cases}\). Cherche d'abord les équations réduites.

Voir la solution

\(2x + y = 3 \iff y = -2x + 3\) et \(4x + 2y = 10 \iff y = -2x + 5\).

Même coefficient directeur \(-2\), ordonnées à l'origine différentes (3 et 5) : les droites sont strictement parallèles. Elles n'ont aucun point commun, donc \(S = \varnothing\).

Par le calcul : en multipliant la 1re équation par 2, on obtient \(4x + 2y = 6\), ce qui contredit \(4x + 2y = 10\).

Exemple résolu 5 : droites confondues

Système \(\begin{cases} x - 2y = 4 \\ -2x + 4y = -8 \end{cases}\). Cherche d'abord le lien entre les deux équations.

Voir la solution

La 2e équation est la 1re multipliée par \(-2\) : \(-2 \times (x - 2y) = -2 \times 4\). Les deux équations décrivent la même droite \(y = \dfrac{1}{2}x - 2\).

Tous les points de cette droite sont solutions : \((4 ; 0)\), \((0 ; -2)\), \((2 ; -1)\)… On écrit \(S = \left\{\left(x ; \dfrac{1}{2}x - 2\right),\ x \in \mathbb{R}\right\}\).

Prévoir le cas sans tracer : le déterminant

Pour le système \(\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\), on calcule le déterminant :

\[\Delta = ab' - a'b.\]

Si \(\Delta \neq 0\) : les droites sont sécantes, le système a une unique solution.
Si \(\Delta = 0\) : les droites sont parallèles ou confondues ; on compare alors les équations pour savoir s'il y a aucune solution ou une infinité.

flowchart LR
  A[Calculer le determinant] --> B{Determinant nul}
  B -- Non --> C[Droites secantes une solution]
  B -- Oui --> D{Equations proportionnelles}
  D -- Oui --> E[Droites confondues infinite de solutions]
  D -- Non --> F[Droites paralleles aucune solution]

Vérifions sur nos exemples :

\begin{align} \text{Ex. 2 : } & \Delta = 1 \times (-1) - 2 \times 1 = -3 \neq 0 && \text{une solution} \\ \text{Ex. 4 : } & \Delta = 2 \times 2 - 4 \times 1 = 0 && \text{parallèles} \\ \text{Ex. 5 : } & \Delta = 1 \times 4 - (-2) \times (-2) = 0 && \text{confondues} \end{align}

Le système \(\begin{cases} 3x - y = 2 \\ 6x - 2y = 7 \end{cases}\) a :

une seule solution
aucune solution
une infinité de solutions

\(\Delta = 3 \times (-2) - 6 \times (-1) = 0\). Les droites \(y = 3x - 2\) et \(y = 3x - 3{,}5\) sont parallèles et distinctes : aucun point commun.

Pour quel système les deux droites sont-elles confondues ?

\(\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x + y = 2 \\ x + y = 4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x + y = 2 \\ 3x + 3y = 6 \end{cases}\)

\(3x + 3y = 6\) est la 1re équation multipliée par 3 : c'est la même droite. Le 1er système a une solution \((2 ; 0)\), le 2e n'en a aucune.

Erreurs fréquentes

Oublier d'isoler \(y\) correctement : \(2x - y = 1\) donne \(y = 2x - 1\), et non \(y = -2x + 1\). Vérifie avec un point.
Donner la solution comme deux nombres séparés au lieu d'un couple \((x ; y)\).
Confondre parallèles et confondues : même coefficient directeur dans les deux cas, mais l'ordonnée à l'origine fait la différence.
Repère mal gradué : des unités irrégulières déforment les droites et faussent la lecture.
Croire la lecture graphique exacte : elle se vérifie toujours dans les deux équations.

Récapitulatif

Chaque équation \(ax + by = c\) est une droite ; on la trace avec deux points.
Les solutions du système sont les points communs aux deux droites.
Sécantes : une solution ; parallèles : aucune ; confondues : une infinité.
\(\Delta = ab' - a'b \neq 0\) garantit une solution unique.
La lecture graphique se confirme par le calcul.

Équation \(ax + by = c\)

Une droite du plan ; réduite : \(y = mx + p\) si \(b \neq 0\).

Solution graphique d'un système

Les coordonnées du ou des points communs aux deux droites.

Droites sécantes

\(m \neq m'\) : une seule solution.

Droites strictement parallèles

\(m = m'\), \(p \neq p'\) : aucune solution.

Droites confondues

Équations proportionnelles : une infinité de solutions.

Déterminant

\(\Delta = ab' - a'b\) ; non nul : solution unique.