Introduction

Ce cours permet de revoir les notions importantes concernant les solides : pyramides et cônes. Nous verrons leur définition, les éléments caractéristiques, ainsi que comment calculer leur volume et leur surface.

Les solids en géométrie dans l'espace

Les solides étudiés ici sont des figures à deux dimensions : la base, et une partie verticale qui relie la base à un sommet ou à une courbe capant la surface.

Pyramides

Définition

Une pyramide est un polyèdre dont la base est un polygone et dont toutes les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un seul sommet appelé sommet de la pyramide.

Éléments caractéristiques

• Base : polygone (triangle, carré, rectangle,…)
• Sommet : point situé au-dessus ou en dessous de la base
• Arêtes : côtés de la base + segments reliant le sommet aux sommets de la base
• Faces : une base + triangles latéraux

Calculs

Volume : \[ V = rac{1}{3} imes ext{Aire de la base} imes ext{hauteur} \]

où la hauteur est la perpendiculaire abaissée du sommet à la plané de la base.

Exemple

Pour une pyramide à base carrée de côté \(a\) et d'hauteur \(h\), le volume est :

\[ V = rac{1}{3} a^2 h \]

Cônes

Définition

Un cône est un solide dont la surface latérale est une surface de révolution formée en faisant tourner un segment (généralement une droite appelée génératrice) autour d’un axe passant par l’extrémité pointue appelée sommet.

Éléments caractéristiques

• Base : un disque
• Sommet : point au sommet du cône
• Hauteur : segment perpendiculaire à la base allant du sommet au centre de la base
• Lancement : génératrice (segment oblique du sommet à un point sur la circonférence de la base)

Calculs

Volume : \[ V = rac{1}{3} \pi r^2 h \] où \(r\) est le rayon de la base et \(h\) la hauteur.

Surface totale

La surface totale du cône est la somme de la surface de la base et de la surface latérale :

\[ S = \pi r^2 + \pi r l \]

où \(l\) est la génératrice, calculée via :

\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} \]

Exemple

Pour un cône de rayon \(r = 3\, ext{cm}\) et de hauteur \(h = 4\, ext{cm}\), la génératrice :

\[ l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\, ext{cm} \]

La surface latérale :

\[ S_{lat} = \pi imes 3 imes 5 = 15 \pi \, ext{cm}^2 \]

La surface totale :

\[ S = \pi imes 3^2 + 15 \pi = 9 \pi + 15 \pi = 24 \pi \, ext{cm}^2 \]