Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale

1. Épreuve de Bernoulli

L'épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire simple qui possède deux issues possibles :
- succès, noté \( ext{S} \)
- échec, noté \( ext{E} \)

Chaque épreuve est caractérisée par une probabilité fixe de succès \( p \) (avec \( 0 < p < 1 \)). La probabilité d'échec est alors \( 1 - p \).

2. Loi de Bernoulli

La loi de Bernoulli, notée \( \mathcal{B}(p) \), modélise une seule épreuve de Bernoulli. Elle est définie par la probabilité :

• de succès : \( P(S) = p \)
• d’échec : \( P(E) = 1 - p \)

La variable aléatoire \( X \) suivant une loi de Bernoulli prend deux valeurs :
- \( X = 1 \) en cas de succès avec probabilité \( p \)
- \( X = 0 \) en cas d’échec avec probabilité \( 1 - p \)

Sa fonction de probabilité est :

\[ P(X = x) = p^x (1 - p)^{1 - x} \quad ext{pour } x \in \{0,1\} \]

3. Caractéristiques

• Espérance : \(\mathrm{E}[X] = p\)
• Variance : \(\mathrm{Var}(X) = p(1 - p)\)

4. Résumé

L’épreuve de Bernoulli est la base pour modéliser et étudier le comportement d’expériences binaires répétés, menant à la loi binomiale.