Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale

1. Introduction à l’épreuve de Bernoulli

L’épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire simple et unique, qui possède seulement deux issues possibles :
- succès, avec une probabilité \( p \)
- échec, avec une probabilité \( 1 - p \)

2. La variable aléatoire de Bernoulli

On note \( X \) cette variable, qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec : \[ X = egin{cases} 1, & ext{succès} \ 0, & ext{échec} \end{cases} \] Elle suit la loi de Bernoulli de paramètre \( p \), notée \( \mathcal{B}(p) \).

3. Fonction de probabilité de la loi de Bernoulli

La probabilité pour \( X \) d’être égale à 1 (succès) est \( p \) : \[ P(X=1) = p \] Et la probabilité d’être égale à 0 (échec) est \( 1 - p \) : \[ P(X=0) = 1 - p \] La fonction de probabilité est donc : \[ P(X=k) = egin{cases} p, & ext{si } k=1 \ 1 - p, & ext{si } k=0 \end{cases} \]

4. La loi binomiale

Considérons \( n \) épreuves indépendantes, chacune suivant une loi de Bernoulli de paramètre \( p \). La variable \( X \) représentant le nombre de succès parmi ces \( n \) épreuves, suit une loi binomiale : \[ X \sim \mathcal{B}(n, p) \] Sa fonction de probabilité est : \[ P(X=k) = inom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k} \quad ext{pour } k = 0, 1, \ldots, n \] où \( inom{n}{k} \) est le coefficient binomial, calculé par : \[ inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n-k)!} \]

5. Synthèse

• L’épreuve de Bernoulli modélise un seul essai avec deux résultats possibles.
• La variable \( X \) suit une loi de Bernoulli de paramètre \( p \).
• En réalisant \( n \) essais indépendants, le nombre de succès suit une loi binomiale \( \mathcal{B}(n, p) \).