1. Introduction à la loi binomiale

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans une succession de \( n \) essais indépendants, chacun ayant une probabilité \( p \) de succès (schéma de Bernoulli). Elle intervient notamment dans les expériences où l'on souhaite connaître la probabilité d'obtenir un certain nombre de succès.

2. Expression de la loi binomiale

La probabilité d'obtenir exactement \( k \) succès parmi \( n \) essais est donnée par :

où :

• \( inom{n}{k} \) est le coefficient binomial, calculé par :
• \( inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n-k)!} \)

3. Seuils et seuils critiques

Pour interpréter la loi binomiale, on définit des seuils ou seuils critiques qui permettent de déterminer si un résultat est considéré comme exceptionnel ou non.

• Une valeur de \( k \) est qualifiée de seuil si la probabilité \( P(X = k) \) est très faible, par exemple inférieur à 5% ou 1%.
• Les seuils permettent d'établir des zones de rejet ou de non-rejet d'une hypothèse.

Par exemple, dans un contexte médical, si le nombre de patients atteints dépasse un seuil critique, cela peut indiquer une situation inhabituelle ou préoccupante.

4. Comparaison avec d'autres modèles

La loi binomiale est souvent comparée à d'autres lois de probabilité lorsque le nombre d'essais \( n \) devient très grand :

• Pour \( n \) grand, la loi binomiale peut être approximée par la loi normale, notamment lorsqu'on utilise la correction de continuité.
• Lorsque \( p \) est faible ou grande, une approximation par la loi de Poisson peut être pertinente, avec \( \lambda = np \).

Ces comparaisons permettent de simplifier les calculs dans certains cas et d'interpréter plus facilement les résultats.