Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale : Expression, Seuils et Comparaisons

1. Rappel sur le schéma de Bernoulli

Le schéma de Bernoulli modélise une expérience à deux résultats possibles : succès ou échec, avec une probabilité \( p \) pour le succès et \( 1 - p \) pour l’échec.

2. Loi binomiale : définition

Considérons une expérience de Bernoulli répétée \( n \) fois indépendamment, chacune avec la même probabilité \( p \) de succès. La variable aléatoire \( X \), nombre de succès parmi ces \( n \) essais, suit la loi binomiale : \[ P(X = k) = inom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \quad ext{pour } k=0,1,\dots,n \]

où \(inom{n}{k}\) est le coefficient binomial, exprimé par : \[ inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n-k)!} \]

3. Expression de la loi binomiale

La formule précise :

\( P(X = k) = inom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \)

Elle donne la probabilité d'obtenir exactement \( k \) succès dans \( n \) essais.

4. Seuils et centre de la distribution

Le nombre moyen de succès est :

\( \mathbb{E}[X] = np \)

Et la variance :

\( \mathrm{Var}(X) = np(1 - p) \)

Le seuil autour duquel se concentre la loi binomiale est donc \( np \).

5. Comparaisons et approximations

Pour de grands \( n \), il est courant d’approximer la loi binomiale :

• Par une loi normale si \( np \) et \( n(1 - p) \) sont grands, en utilisant :

\( X \sim \mathcal{N}(np, np(1 - p)) \)

Pour des calculs rapides ou pour des seuils, on compare la probabilité à un seuil fixé :

\( P(X \geq k) \) ou \( P(X \leq k) \)

en utilisant la loi normale ou la méthode de la normalisation :

\( Z = rac{X - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \)

6. Conclusion

La loi binomiale permet de modéliser le nombre de succès dans une expérience répétée. La connaissance de ses formules, seuils, et la possibilité d'approximer avec la loi normale sont fondamentales pour l’analyse statistique en terminale.