Schéma de Bernoulli et loi binomiale

1. La loi binomiale : définition

La loi binomiale modélise le nombre de succès dans n essais indépendants identiques ayant deux issues possibles : succès ou échec. Si
p est la probabilité de succès lors d’un seul essai, alors la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

2. Expression de la loi binomiale

La probabilité d’obtenir exactement k succès parmi n essais est donnée par :

P(X=k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^{n-k}

où C(n, k) est le coefficient binomial défini par :

C(n, k) = × rac{n!}{k! × (n-k)!}

3. Seuils et critères de comparaison

3.1. Seuils classiques

• Seuil égal à np :

Tolérance pour vérifier si une valeur observée est cohérente avec la loi binomiale. Si k est proche de np, alors l’observation est compatible.

• Seuils de confiance : nál

Utilisés pour effectuer des tests d’hypothèses ou construire des intervalles de confiance.

3.2. Comparaison avec d’autres lois et schémas

Pour de grands n, la loi binomiale peut être approximée par une loi normale grâce au théorème central limite, notamment lorsque np(1-p) est grand. La formule d’approximation est :

Normal(nμ, √(nσ^2)) avec μ = np et σ^2 = np(1-p)

Cette approximation facilite la comparaison de probabilités et le calcul des seuils pour des échantillons importants.

4. Résumé

• La loi binomiale exprime la probabilité de success dans n essais.
• Elle repose sur la formule combinatoire et la probabilité de succès dans un essai.
• Les seuils permettent de faire des tests et de vérifier la cohérence des résultats observés.
• Pour de grands n, la loi normale constitue une approximation pratique.