Schéma de Bernoulli et loi binomiale : Succession d’épreuves indépendantes

1. Introduction aux épreuves de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles : succès avec une probabilité \( p \), ou échec avec une probabilité \( 1 - p \). La variable aléatoire associée, notée \( X \), vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.

2. Succession d’épreuves indépendantes

Considérons une suite de \( n \) épreuves de Bernoulli indépendantes, toutes avec la même probabilité de succès \( p \). La variable aléatoire \( X \) qui compte le nombre de succès parmi ces épreuves suit une loi binomiale.

3. Loi binomiale

La loi binomiale donne la probabilité d’obtenir exactement \( k \) succès en \( n \) essais. La probabilité est donnée par la formule :

où \( inom{n}{k} \) est le coefficient binomial, calculé par :

4. Exemple concrèt

Supposons que l’on lance une pièce équilibrée (\( p = 0,5 \)) 10 fois. La probabilité d’obtenir exactement 4 succès est :

Calculons :

5. Récapitulatif

• Une suite d’épreuves de Bernoulli modélise une série de tentatives indépendantes, identiques et binaires.
• Le nombre de succès suit une loi binomiale \( \mathcal{B}(n, p) \).
• La formule de probabilité est \( P(X = k) = inom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \).