Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale : Succession d’épreuves indépendantes

1. Introduction : Succession d’épreuves indépendantes

En classe de terminale, on étudie souvent des expériences composées de plusieurs essais réalisés successivement. Lorsqu'ils sont indépendants et identiques, ces essais sont modélisés par le schéma de Bernoulli.

2. Schéma de Bernoulli

C’est un modèle simple d’une seule épreuve :

• Le succès a une probabilité \( p \) (avec \( 0 < p < 1 \)).
• L’échec a une probabilité \( q = 1 - p \).

Une expérience de Bernoulli peut se résumer dans le tableau :

Résultat	Probabilité
Succès (S)	\( p \)
Échec (E)	\( q \)

3. Succession de plusieurs essais

Considérons une suite de \( n \) essais indépendants de Bernoulli, tous avec la même probabilité \( p \).

Ce modèle correspond à un schéma probabiliste appelé loi binomiale.

4. Loi binomiale

Soit \( X \) le nombre de succès dans ces \( n \) essais. La variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \).

La probabilité d’obtenir exactement \( k \) succès est donnée par :

\[ P(X = k) = inom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

où \( inom{n}{k} \) est le coefficient binomial, qui correspond au nombre de façons de choisir \( k \) succès parmi \( n \) essais.

5. Propriétés importantes

• Espérance : \( \mathbb{E}[X] = np \)
• Variance : \( \mathrm{Var}(X) = np(1-p) \)

6. Exemple d’application

Supposons que la probabilité de succès lors d’un essai est \( p=0,6 \), et qu’on réalise \( n=10 \) essais. La probabilité d’avoir exactement 7 succès est :

\[ P(X=7) = inom{10}{7} 0,6^7 (0,4)^3 \]

Calculons le coefficient binomial :

\[ inom{10}{7} = rac{10!}{7! imes 3!} = 120 \]

La formule complète donne :

\[ P(X=7) = 120 imes 0,6^7 imes 0,4^3 \]

7. Résumé

• Les essais de Bernoulli sont modélisés par une loi binomiale.
• La probabilité d’obtenir exactement \( k \) successes parmi \( n \) essais est donnée par la formule binomiale mentionnée ci-dessus.
• Ce modèle est essentiel pour étudier des situations où il y a une série d’épreuves indépendantes avec deux issues possibles.