Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale : Succession d’épreuves indépendantes

Objectifs

• Comprendre ce qu’est une épreuve de Bernoulli et ce que signifie l’indépendance entre épreuves.
• Énoncer et utiliser la loi binomiale: X ~ Binomial(n, p) et sa probabilité P(X = k).
• Calculer l’espérance et la variance de X, et résoudre des exercices simples avec des démonstrations étape par étape.
• Utiliser des schémas et des exemples concrets pour mémoriser les règles essentielles.

Notions clés

Définition: Une épreuve de Bernoulli est une expérience binaire qui produit deux résultats possibles: succès avec probabilité \(p\) et échec avec probabilité \(1-p\). Par exemple, lancer une pièce équilibrée et compter les faces comme succès.

Définition: Deux épreuves A et B sont indépendantes si P(A ∩ B) = P(A) P(B). Dans une suite Bernoulli, chaque tirage est supposé indépendant des autres.

Définition: X suit la loi binomiale avec les paramètres \(n\) et \(p\) si X est le nombre de succès parmi les n épreuves indépendantes, chacune ayant probabilité de succès \(p\). On écrit \(X \sim \mathrm{Binomial}(n, p)\).

Dans X ~ Binomial(n, p): \( \mathbb{E}[X] = np \) et \( \operatorname{Var}(X) = np(1-p) \).

Exemples résolus

Erreurs fréquentes

• Confondre X avec le nombre total d’essais ou le temps jusqu’au premier succès.
• Supposer que P(X=k) se lit directement comme une somme d’événements simples sans multiplier par les combinaisons possibles.
• Oublier que l’indépendance est nécessaire pour la loi binomiale et que la non-indépendance conduit à une autre distribution.

Récapitulatif

• Épreuve de Bernoulli: deux issues, succès p, échec 1-p.
• Indépendance: chaque tirage n’influence pas les autres, P(A ∩ B) = P(A) P(B).
• Loi binomiale: X ~ Binomial(n, p); \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}\).
• Espérance et variance: \( \mathbb{E}[X] = np \), \( \operatorname{Var}(X) = np(1-p) \).
• Utilisation d’un exemple: n=5, p=0.5, P(X=3) = 5/16.

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