Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale

Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale : Succession d’épreuves indépendantes

Introduction

Ce cours traite des concepts fondamentaux liés aux épreuves successives indépendantes, notamment le schéma de Bernoulli et la loi binomiale, essentiels en probabilités.

1. Épreuves de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux résultats possibles : succès avec une probabilité p ou échec avec une probabilité 1−p.

Exemples : lancer de pièce, réussite d’un tir au but.

2. Succession d’épreuves indépendantes

Lorsque plusieurs épreuves de Bernoulli sont réalisées successivement, et que chaque épreuve est indépendante des autres, on parle d’une succession indépendante.

Ex : lancer de plusieurs pièces.

3. Modélisation par la loi binomiale

Si l’on réalise n épreuves de Bernoulli indépendantes, le nombre de succès X suit une loi binomiale B(n, p).

La probabilité d’obtenir k succès est donnée par :

P(X=k) = ∏(n, k) imes p^k imes (1 - p)^{n - k}

où ∏(n, k) est le coefficient binomial "n choose k" :

∏(n, k) = rac{n!}{k! imes (n - k)!}

4. Exemple

Supposons que l’on lance 10 pièces identiques, chaque pièce ayant une probabilité p=0,5 de tomber face. La variable X, nombre de faces, suit une loi binomiale B(10, 0,5).
La probabilité d’obtenir exactement 6 faces est :

P(X=6) = ∏(10, 6) imes 0.5^6 imes 0.5^4

Conclusion

Le schéma de Bernoulli permet de modéliser successions d’épreuves à deux issues. La loi binomiale exprime la probabilité d’obtenir un certain nombre de succès parmi n essais indépendants, chacun ayant une probabilité p de succès.