Seconde loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces qui agissent sur un système est égale à sa masse multipliée par son accélération : \(\sum \vec{F} = m\,\vec{a}\) ; plus la force est grande et la masse petite, plus la vitesse change vite.

Objectifs

Définir le vecteur quantité de mouvement et énoncer la seconde loi de Newton.
Appliquer une méthode rigoureuse : système, référentiel, bilan des forces, projection sur des axes.
Déterminer l'accélération d'un système, puis sa vitesse et sa position, dans des situations simples (mouvement rectiligne, chute libre, plan incliné).

1. Les outils : référentiel, quantité de mouvement, accélération

Notions clés

Le système est l'objet étudié, modélisé par un point : son centre de masse \(G\).
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié. Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen pour des mouvements de courte durée.
Le vecteur quantité de mouvement : \(\vec{p} = m\,\vec{v}\), avec \(m\) en kg, \(v\) en \(\mathrm{m \cdot s^{-1}}\) et \(p\) en \(\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}\).
Le vecteur accélération mesure la variation du vecteur vitesse : \(\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}\), en \(\mathrm{m \cdot s^{-2}}\).

Une moto de 150 kg (pilote compris) roule à \(10\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\). Quelle est la valeur de sa quantité de mouvement ?

\(15\ \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}\)
\(1\,500\ \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}\)
\(160\ \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}\)

\(p = m \times v = 150 \times 10 = 1\,500\ \mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}\).

2. L'énoncé de la seconde loi

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système est égale à la dérivée de son vecteur quantité de mouvement :

\[\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{p}}{dt}\]

Si la masse du système est constante, \(\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = m\,\vec{a}\), d'où la forme la plus utilisée :

\[\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}\]

Manipule

Une moto part à l'arrêt. La force motrice \(F\) pousse vers l'avant, les frottements \(f\) freinent, la masse vaut \(m\). La vitesse vaut alors \(v(t) = \frac{F - f}{m}\,t\). Change \(F\), \(f\) et \(m\) : la pente de la droite est l'accélération.

Une voiture roule en ligne droite à vitesse constante sur la route de Bamako. Que peut-on dire des forces qui s'exercent sur elle ?

Il n'y a aucune force
La force motrice est plus grande que les frottements
Leur somme vectorielle est nulle

Vitesse constante en ligne droite : \(\vec{a} = \vec{0}\), donc \(\sum \vec{F} = \vec{0}\). Les forces existent (poids, réaction, force motrice, frottements) mais elles se compensent.

3. La méthode en quatre temps

flowchart LR
  A[Definir le systeme] --> B[Choisir un referentiel galileen]
  B --> C[Faire le bilan des forces]
  C --> D[Appliquer la seconde loi et projeter sur les axes]
  D --> E[En deduire a puis v et la position]

Exemple résolu 1 : le démarrage d'un zémidjan

Un taxi-moto et son pilote (\(m = 150\ \mathrm{kg}\)) démarrent à l'arrêt sur une route horizontale. La force motrice vaut \(F = 600\ \mathrm{N}\) et les frottements \(f = 150\ \mathrm{N}\). Calculer l'accélération, puis la vitesse au bout de \(4\ \mathrm{s}\). Cherche d'abord.

Système : {moto + pilote}. Référentiel : terrestre, supposé galiléen. Axe \(Ox\) horizontal dans le sens du mouvement.

Forces : poids \(\vec{P}\) (vertical, vers le bas), réaction de la route \(\vec{R}\) (verticale, vers le haut), force motrice \(\vec{F}\) (vers l'avant), frottements \(\vec{f}\) (vers l'arrière).

Seconde loi : \(\vec{P} + \vec{R} + \vec{F} + \vec{f} = m\,\vec{a}\). Sur l'axe vertical, \(P\) et \(R\) se compensent. Sur \(Ox\) : \[F - f = m\,a_x \quad\Rightarrow\quad a_x = \frac{600 - 150}{150} = 3\ \mathrm{m \cdot s^{-2}}\]

Vitesse : l'accélération est constante et \(v(0) = 0\), donc \(v(t) = a_x t\) et \(v(4) = 3 \times 4 = 12\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\), soit environ \(43\ \mathrm{km \cdot h^{-1}}\).

À toi de jouer

Un car de \(2\,000\ \mathrm{kg}\) roulant à \(20\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}\) freine et s'arrête en \(8\ \mathrm{s}\), avec une décélération constante. Calcule son accélération, la force de freinage (supposée seule force horizontale) et la distance de freinage.

Voir la solution

Accélération : \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{0 - 20}{8} = -2{,}5\ \mathrm{m \cdot s^{-2}}\) (le signe moins indique un freinage).

Force : \(F = m\,|a| = 2\,000 \times 2{,}5 = 5\,000\ \mathrm{N}\), dirigée vers l'arrière.

Distance : avec \(v^2 - v_0^2 = 2\,a\,d\) : \(0 - 400 = 2 \times (-2{,}5) \times d\), donc \(d = 80\ \mathrm{m}\). On peut vérifier : \(d = \frac{v_0 + v}{2} \times \Delta t = \frac{20 + 0}{2} \times 8 = 80\ \mathrm{m}\) ✓.

4. Applications classiques

La chute libre

Un objet est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids. La seconde loi donne :

\[m\,\vec{g} = m\,\vec{a} \quad\Rightarrow\quad \vec{a} = \vec{g}\]

L'accélération ne dépend pas de la masse : tous les corps en chute libre ont la même accélération \(g \approx 9{,}8\ \mathrm{m \cdot s^{-2}}\), verticale et vers le bas.

Dans le vide, on lâche en même temps une bille de 10 g et une boule de 1 kg. Laquelle a la plus grande accélération ?

Elles ont la même accélération \(\vec{g}\)
La boule de 1 kg
La bille de 10 g

En chute libre, \(m\,\vec{g} = m\,\vec{a}\) : la masse se simplifie, donc \(\vec{a} = \vec{g}\) pour les deux objets.

Exemple résolu 2 : le plan incliné

Un colis de \(m = 2\ \mathrm{kg}\) glisse sur une planche inclinée d'un angle \(\alpha = 30°\) par rapport à l'horizontale. On prend \(g = 9{,}8\ \mathrm{N \cdot kg^{-1}}\). Calculer son accélération sans frottement, puis avec une force de frottement \(f = 3\ \mathrm{N}\) parallèle à la planche. Suis le schéma puis les calculs.

Le poids P est vertical, vers le bas, de valeur m × g = 2 × 9,8 = 19,6 N.

La réaction normale R de la planche est perpendiculaire à la planche.

Les frottements f sont parallèles à la planche et s'opposent au mouvement, donc dirigés vers le haut de la pente.

On choisit l'axe Ox parallèle à la planche, orienté vers le bas de la pente, dans le sens du mouvement.

Seconde loi : \(\vec{P} + \vec{R} + \vec{f} = m\,\vec{a}\). Projection sur \(Ox\) : \(R\) est perpendiculaire à \(Ox\), sa projection est nulle ; celle du poids vaut \(m\,g\sin\alpha\) ; celle des frottements vaut \(-f\).

Sans frottement : \(m\,g\sin\alpha = m\,a\), donc \[a = g\sin\alpha = 9{,}8 \times \sin 30° = 9{,}8 \times 0{,}5 = 4{,}9\ \mathrm{m \cdot s^{-2}}\]

Avec frottement : \(m\,g\sin\alpha - f = m\,a\), donc \[a = \frac{2 \times 9{,}8 \times 0{,}5 - 3}{2} = \frac{9{,}8 - 3}{2} = 3{,}4\ \mathrm{m \cdot s^{-2}}\]

Projection sur l'axe perpendiculaire à la planche (pas d'accélération dans cette direction) : \(R - m\,g\cos\alpha = 0\), donc \(R = 19{,}6 \times \cos 30° \approx 17{,}0\ \mathrm{N}\).

Un objet se déplace vers la droite, mais la somme des forces qui s'exercent sur lui est dirigée vers la gauche. Que se passe-t-il ?

Il accélère vers la droite
Il ralentit
Sa vitesse reste constante

\(\vec{a}\) a le sens de \(\sum \vec{F}\), donc vers la gauche, opposé à la vitesse : l'objet ralentit (et pourrait ensuite repartir vers la gauche).

Récapitulatif

Quantité de mouvement : \(\vec{p} = m\,\vec{v}\).
Seconde loi (référentiel galiléen) : \(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{p}}{dt}\), soit \(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}\) à masse constante.
\(\vec{a}\) a la direction et le sens de \(\sum \vec{F}\) ; si \(\sum \vec{F} = \vec{0}\), la vitesse est constante.
Méthode : système, référentiel, bilan des forces, projection, puis \(a\), \(v\) et position.
Chute libre : \(\vec{a} = \vec{g}\) ; plan incliné sans frottement : \(a = g\sin\alpha\).

Cartes mémo

Seconde loi de Newton

Dans un référentiel galiléen : \(\sum \vec{F}_{\text{ext}} = m\,\vec{a}\) (masse constante).

Quantité de mouvement

\(\vec{p} = m\,\vec{v}\), en \(\mathrm{kg \cdot m \cdot s^{-1}}\) ; \(\sum \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\).

Référentiel galiléen

Référentiel où le principe d'inertie est vérifié ; le référentiel terrestre l'est pour des mouvements courts.

Chute libre

Seul le poids agit : \(\vec{a} = \vec{g}\), quelle que soit la masse.

Méthode

Système, référentiel, bilan des forces, seconde loi, projection sur les axes.