Objectifs

• Savoir déterminer si une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle.
• Savoir interpréter graphiquement la variation d'une fonction.

Notions clés

• Une fonction est dite croissante sur un intervalle si, pour tous \(x_1, x_2\) dans cet intervalle, si \(x_1 < x_2\), alors \(\textbf{f}(x_1) \leq \textbf{f}(x_2)\).
• Une fonction est décroissante si, pour tous \(x_1, x_2\) dans l'intervalle, si \(x_1 < x_2\), alors \(\textbf{f}(x_1) \geq \textbf{f}(x_2)\).
• Le signe de la dérivée \(\textbf{f'}(x)\) indique le sens de variation :
  • si \(\textbf{f'}(x) > 0\), la fonction est croissante,
  • si \(\textbf{f'}(x) < 0\), elle est décroissante.

Exemples résolus

Exemple 1 : Analyse de la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)

Pour déterminer le sens de variation, on calcule la dérivée :

Ce qui montre que \(f\) est croissante sur \((-\infty, -1)\), décroissante sur \((-1, 1)\) et croissante sur \((1, +\infty)\).

Exemple 2 : Fonction affine \(f(x) = 2x + 5\)

La dérivée est constante : \(\textbf{f'}(x) = 2\), donc toujours positive :

On en déduit que le graphique monte constamment, sans décroissance.

Erreurs fréquentes

• Confondre signe de la dérivée et pente de la tangente à la courbe.
• Négliger de vérifier le domaine d'étude ou l'intervalle considéré.
• Oublier que la dérivée peut s'annuler en certains points, créant des extrema locaux.

Récapitulatif