Sinus, cosinus, tangente

Sur le cercle trigonométrique, chaque réel \(x\) donne un point \(M\) : son abscisse est \(\cos x\), son ordonnée est \(\sin x\), et \(\tan x\) est leur quotient.

Objectifs

Convertir des degrés en radians et placer un réel sur le cercle trigonométrique.
Définir le cosinus, le sinus et la tangente d'un réel.
Utiliser \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) et les valeurs remarquables.
Trouver le signe et la valeur de \(\cos\) et \(\sin\) d'angles associés (\(-x\), \(\pi - x\), \(\pi + x\), \(\frac{\pi}{2} - x\)).

1. Radians et cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1, dans un repère orthonormé \((O ; I, J)\), orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre).

On « enroule » la droite des réels autour de ce cercle à partir du point \(I\) : à chaque réel \(x\) correspond un unique point \(M\) du cercle. La longueur d'un tour complet est \(2\pi\), donc :

\[ 360^\circ = 2\pi \text{ rad} \qquad \text{et} \qquad 180^\circ = \pi \text{ rad} \]

Pour convertir : \(x_{\text{rad}} = \dfrac{\pi \times x_{\text{deg}}}{180}\).

Exemple résolu 1 : conversions

Convertis \(135^\circ\) en radians, puis \(\dfrac{5\pi}{6}\) rad en degrés. Cherche d'abord.

\(135^\circ = \dfrac{135\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{4}\) rad (on simplifie par 45).

\(\dfrac{5\pi}{6}\) rad \(= \dfrac{5 \times 180^\circ}{6} = 150^\circ\).

Combien vaut \(60^\circ\) en radians ?

\(\dfrac{\pi}{6}\)
\(\dfrac{\pi}{3}\)
\(\dfrac{\pi}{4}\)

\(60^\circ = \dfrac{60\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\) rad.

2. Cosinus et sinus d'un réel

Soit \(M\) le point du cercle trigonométrique associé au réel \(x\). On définit :

le cosinus de \(x\), noté \(\cos x\), est l'abscisse de \(M\) ;
le sinus de \(x\), noté \(\sin x\), est l'ordonnée de \(M\).

\[ M(\cos x ; \sin x) \]

On place le point M du cercle associé au réel x : l'arc de I à M mesure x.

On projette M sur l'axe horizontal : la position obtenue est l'abscisse de M, c'est cos x.

On projette M sur l'axe vertical : la position obtenue est l'ordonnée de M, c'est sin x.

On prolonge OM jusqu'à la tangente au cercle en I : la hauteur du point d'intersection est tan x.

La relation \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) vient du théorème de Pythagore : \(OM = 1\) et \(OM^2 = \cos^2 x + \sin^2 x\).

Observe les courbes de \(\sin\) et de \(\cos\) : elles ondulent entre \(-1\) et \(1\) et se répètent tous les \(2\pi\) (environ 6,28). Déplace la droite horizontale \(y = k\) pour voir combien de solutions ont les équations \(\sin x = k\) ou \(\cos x = k\).

Exemple résolu 2 : utiliser \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)

On sait que \(\sin x = \dfrac{3}{5}\) et que \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]\). Calcule \(\cos x\).

\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\).

Donc \(\cos x = \dfrac{4}{5}\) ou \(\cos x = -\dfrac{4}{5}\).

Pour \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]\), le point \(M\) est à gauche de l'axe vertical : son abscisse est négative. Donc \(\cos x = -\dfrac{4}{5}\).

Le point \(M\) associé à \(x\) a pour coordonnées \(\left(-\dfrac{1}{2} ; \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Que vaut \(\sin x\) ?

\(-\dfrac{1}{2}\)
\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Le sinus est l'ordonnée de \(M\) (sa deuxième coordonnée) : \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

3. La tangente

Pour tout réel \(x\) tel que \(\cos x \neq 0\), c'est-à-dire \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) (\(k\) entier), la tangente de \(x\) est :

\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]

Géométriquement, \(\tan x\) est l'ordonnée du point où la droite \((OM)\) coupe la tangente au cercle en \(I\) (étape 4 du schéma). On a aussi :

\[ 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \]

Avec l'exemple 2 : \(\tan x = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}\).

Pour quelle valeur de \(x\) la tangente n'est-elle pas définie ?

\(x = \dfrac{\pi}{2}\)
\(x = \pi\)
\(x = 0\)

\(\cos\dfrac{\pi}{2} = 0\) : on ne peut pas diviser par 0, donc \(\tan\dfrac{\pi}{2}\) n'existe pas. En revanche \(\tan \pi = \tan 0 = 0\).

4. Valeurs remarquables

\(x\)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\tan x\)	\(0\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	non définie

Que vaut \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) ?

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\dfrac{\pi}{3} = 60^\circ\) et \(\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\).

5. Signes et angles associés

Le signe de \(\cos x\) et de \(\sin x\) dépend du quart de cercle (quadrant) où se trouve \(M\) :

entre \(0\) et \(\frac{\pi}{2}\) : \(\cos x \gt 0\) et \(\sin x \gt 0\) ;
entre \(\frac{\pi}{2}\) et \(\pi\) : \(\cos x \lt 0\) et \(\sin x \gt 0\) ;
entre \(\pi\) et \(\frac{3\pi}{2}\) : \(\cos x \lt 0\) et \(\sin x \lt 0\) ;
entre \(\frac{3\pi}{2}\) et \(2\pi\) : \(\cos x \gt 0\) et \(\sin x \lt 0\).

Les formules des angles associés (symétries du cercle) :

\begin{align} \cos(-x) &= \cos x & \sin(-x) &= -\sin x \\ \cos(\pi - x) &= -\cos x & \sin(\pi - x) &= \sin x \\ \cos(\pi + x) &= -\cos x & \sin(\pi + x) &= -\sin x \\ \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) &= \sin x & \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - x\right) &= \cos x \end{align}

Exemple résolu 3 : \(\cos\) et \(\sin\) de \(\dfrac{5\pi}{6}\)

Calcule \(\cos\dfrac{5\pi}{6}\), \(\sin\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\tan\dfrac{5\pi}{6}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

On écrit \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\). Avec les formules de \(\pi - x\) :

\[ \cos\frac{5\pi}{6} = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \] \[ \tan\frac{5\pi}{6} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Que vaut \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) ?

\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(-\dfrac{1}{2}\)

\(\sin(-x) = -\sin x\), donc \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}\).

6. Lien avec le triangle rectangle

Pour un angle aigu \(\widehat{A}\) d'un triangle rectangle, on retrouve les définitions du collège :

\[ \cos \widehat{A} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \sin \widehat{A} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \tan \widehat{A} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} \]

Exemple résolu 4 : l'échelle

L'échelle est l'hypoténuse (5 m) ; la hauteur atteinte sur le mur est le côté opposé à l'angle de \(60^\circ\).

\(\sin 60^\circ = \dfrac{h}{5}\), donc \(h = 5 \sin 60^\circ = 5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\).

\(h \approx 4{,}33\) m : l'échelle arrive à environ 4,33 m de hauteur.

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à \(\widehat{A}\) mesure 3 et le côté adjacent 3. Que vaut \(\tan\widehat{A}\) ?

1
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
3

\(\tan\widehat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{3}{3} = 1\) (l'angle vaut \(45^\circ\)).

Erreurs fréquentes

Confondre abscisse et ordonnée : le cosinus se lit sur l'axe horizontal, le sinus sur l'axe vertical.
Oublier le signe après avoir calculé \(\cos^2 x\) ou \(\sin^2 x\).
Écrire \(\cos(\pi - x) = \cos x\) : c'est le sinus qui ne change pas, le cosinus change de signe.
Laisser la calculatrice en mode degrés quand l'angle est en radians (ou l'inverse).
Calculer \(\tan\dfrac{\pi}{2}\) : elle n'existe pas.

Récapitulatif

Sur le cercle trigonométrique, le réel \(x\) correspond au point \(M(\cos x ; \sin x)\), avec \(\pi \text{ rad} = 180^\circ\). Le cosinus et le sinus sont compris entre \(-1\) et \(1\) et vérifient \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\). La tangente vaut \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) quand \(\cos x \neq 0\). Les angles associés et les valeurs remarquables permettent de calculer sans calculatrice.

Radian

\(180^\circ = \pi\) rad ; un tour complet vaut \(2\pi\) rad.

Cosinus et sinus

Abscisse et ordonnée du point \(M\) associé à \(x\) sur le cercle trigonométrique.

Relation fondamentale

\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)

Tangente

\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\), définie si \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\).

Angle \(\pi - x\)

\(\cos(\pi - x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi - x) = \sin x\).

Valeurs de \(\dfrac{\pi}{6}\)

\(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\).