Sommes de variables aléatoires : Espérance et variance d’un échantillon

Introduction

Lorsqu’on étudie un échantillon de données, il est courant de calculer l’espérance (ou moyenne) et la variance pour caractériser la distribution des valeurs observées. Ces notions s’appliquent aussi à des variables aléatoires.

1. Espérance d’un échantillon

Soit un échantillon de n observations : \( x_1, x_2, ..., x_n \). La moyenne échantillonnale est définie par :

\( ar{x} = rac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \)

Dans le contexte des variables aléatoires, si \(X_1, X_2, ..., X_n\) sont des variables indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.), alors l’espérance de leur somme est :

\( \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n X_i 
ight] = n \mathbb{E}[X] \)

Et l’espérance de la moyenne échantillonnale est :

\( \mathbb{E}[ar{X}] = \mathbb{E}[X] \)

2. Variance d’un échantillon

La variance d’une variable aléatoire \(X\) est donnée par :

\( \operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] \)

Pour un échantillon, la variance de la moyenne échantillonnale est :

\( \operatorname{Var}(ar{X}) = rac{1}{n^2} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i
ight) = rac{1}{n^2} 	imes n \operatorname{Var}(X) = rac{\operatorname{Var}(X)}{n} \)

Ce résultat montre que la variance de la moyenne diminue avec l’augmentation de la taille de l’échantillon.

Résumé

• Espérance d’un échantillon : \( \mathbb{E}[ar{X}] = \mathbb{E}[X] \)
• Variance d’un échantillon : \( \operatorname{Var}(ar{X}) = rac{\operatorname{Var}(X)}{n} \)

Ces propriétés sont fondamentales en statistique pour estimer la moyenne d’une population à partir d’un échantillon.