Sommes de variables aléatoires : Espérance et Variance d’un Échantillon

Introduction

En statistiques, lorsqu’on réalise un échantillonnage aléatoire d’une variable aléatoire, on cherche à estimer ses caractéristiques comme son espérance et sa variance. Ces notions s’appliquent aussi aux sommes ou moyennes d’échantillons.

1. Espérance d’un échantillon

Soit \(X_1, X_2, ..., X_n\) un échantillon de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de même loi que \(X\).

La moyenne de cet échantillon est :

L'espérance de cette moyenne est :

car l'espérance est linéaire et les \(X_i\) sont identiques.

2. Variance d’un échantillon

La variance de l’échantillon moyen est :

Et, étant donné que les \(X_i\) sont indépendantes :

\[ ext{Var}(\overline{X}_n) = rac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} ext{Var}(X_i) = rac{ ext{Var}(X)}{n} \]

Donc, plus l’échantillon est grand, plus la variance de la moyenne diminue, ce qui signifie que l’estimation devient plus précise.

3. Résumé

• Espérance : \(\mathbb{E}[\overline{X}_n] = \mathbb{E}[X]\)
• Variance : \( ext{Var}(\overline{X}_n) = rac{ ext{Var}(X)}{n}\)

Cela illustre le phénomène de loi des grands nombres : avec un grand échantillon, la moyenne s’approche de la véritable espérance, et la variance de l’échantillon diminue.