Introduction

En statistiques, lorsqu’on étudie un échantillon, on s’intéresse souvent à des quantités telles que lespérance (moyenne théorique) et la variance (dispersion). Ces notions s’appliquent aussi à la somme de plusieurs variables aléatoires.

Espérance d’un échantillon

Soit un échantillon de n observations : X₁, X₂, ..., X_n.

L’espérance (ou moyenne théorique) d’une variable aléatoire X est notée E[X] ou μ et se définit par :

E[X] = ∑ x × P(X = x)

Pour un échantillon, on calcule la moyenne empirique :

˜> X̄ = (X1 + X2 + ... + Xn) / n

Ce qui est une estimation de E[X].

Variance d’un échantillon

La variance d’une variable X, notée Var(X), mesure sa dispersion :

Var(X) = E[(X - E[X])²]

Dans le cadre d’un échantillon :

S2 = (1 / (n - 1)) × ∑i=1n (Xi - X̄)²

C’est une estimation de la variance de la population.

Somme de variables aléatoires

Considérons X₁, X₂, ..., X_n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.

La somme :

Sn = X1 + X2 + ... + Xn

Son espérance :

E[Sn] = n × E[X]

Sa variance :

Var(Sn) = n × Var(X)

Résumé

• L’espérance d’un échantillon est la moyenne empirique, estimant l’espérance de la population.
• La variance mesure la dispersion autour de la moyenne.
• La somme de variables indépendantes voit son espérance et sa variance évoluer selon n.