Objectifs du cours

• Comprendre ce qu’est l’espérance et la variance d’un échantillon.
• Savoir calculer la moyenne d’un échantillon et estimer la variance associée à la moyenne.
• Savoir interpréter les résultats et donner leur signification en termes d’erreur moyenne et de précision.

Notions clés

Notations fréquentes et premières formules essentielles :

Pour un échantillon X_1, ..., X_n indépendants et distribués selon une même loi de moyenne μ et variance σ^2 :

• La moyenne échantillonnale est \(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\).
• L’espérance de l’échantillon est \[ \mathbb{E}[\bar{X}] = \mu \].
• La variance de l’échantillon est \[ \operatorname{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \].
• L’estimateur sans biais de σ^2 est la variance de l’échantillon : \[ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \], et \[ \mathbb{E}[S^2] = σ^2 \].

Exemple résumé : on peut estimer la précision de \(\bar{X}\) par \[ \widehat{\operatorname{Var}}(\bar{X}) = \frac{S^2}{n} \].

Exemple résolu

Échantillon X = [3, 5, 4, 6, 2], n = 5. Calculons la moyenne, la variance échantillonnale et l’erreur-type de la moyenne.

Erreurs fréquentes

Rappel rapide : l’espérance de la moyenne est μ et Var(\bar{X}) = σ^2/n lorsque les X_i sont indépendants et identiquement distribués.

Cartes mémo