Sommes de variables aléatoires — Espérance et variance, linéarité, indépendance

Sommes de variables aléatoires — Espérance et variance

1. Rappels : espérance, variance, covariance

Soit X une variable aléatoire (discrète ou continue). On note :

Espérance : E[X] (si X discrète) = Σ x·P(X=x). Si X continue, E[X] = ∫ x·f_X(x) dx.
Variance : Var(X) = E[(X − E[X])²] = E[X²] − (E[X])².
Covariance : pour deux variables X,Y, Cov(X,Y) = E[(X − E[X])(Y − E[Y])] = E[XY] − E[X]E[Y].

Si Cov(X,Y)=0 on dit qu'elles sont non corrélées; si elles sont indépendantes alors Cov(X,Y)=0, mais la réciproque est fausse en général.

2. Linéarité de l'espérance

Propriété. Pour toutes variables X,Y et tous réels a,b,

E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y]. En particulier pour une somme de n variables E[Σ_i X_i] = Σ_i E[X_i].

La linéarité de l'espérance ne requiert pas d'indépendance : elle vaut toujours (si les espérances existent).

3. Variance d'une somme — formule générale

Pour deux variables X,Y (avec espérances finies) :

Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X,Y).

Preuve (rapide) :

Var(X+Y) = E[((X+Y) − E[X+Y])²] = E[(X − E[X] + Y − E[Y])²].
Développer le carré : = E[(X − E[X])²] + E[(Y − E[Y])²] + 2 E[(X − E[X])(Y − E[Y])].
Soit : Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y).

4. Cas d'indépendance

Si X et Y sont indépendantes, alors Cov(X,Y)=0. On en déduit :

Si X et Y indépendantes alors Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) et toujours E[X+Y]=E[X]+E[Y].

Plus généralement, si X_1,...,X_n sont deux à deux indépendantes :

Var(Σ_{i=1}^n X_i) = Σ_{i=1}^n Var(X_i).

5. Propriétés utiles

Pour un réel a et une variable X : E[aX] = a E[X] et Var(aX) = a² Var(X).
Pour X_1,...,X_n (pas forcément indépendantes) :
Var(Σ_i X_i) = Σ_i Var(X_i) + 2 Σ_{i.


      Si les variables sont identiquement distribuées et indépendantes (iid) avec variance σ², alors Var(Σ_i X_i) = n σ².
      Covariance nulle n'implique pas indépendance ; exemples classiques existent (variables non linéairement liées).



  
    6. Exemples
    
      Exemple 1 — Somme de Bernoulli indépendants.
      Soit X_i ~ Bernoulli(p) iid. Alors S_n = Σ_{i=1}^n X_i ~ Binomial(n,p).
      Espérance : E[S_n] = n p. Variance : Var(S_n) = n p (1−p).
    

    
      Exemple 2 — Deux variables dépendantes.
      Si Y = X, alors E[X+Y] = 2 E[X], mais Var(X+Y) = Var(2X) = 4 Var(X) ≠ Var(X)+Var(X) = 2 Var(X). La covariance vaut ici Cov(X,X)=Var(X) et ajoute le terme supplémentaire.
    

    
      Exemple numérique.
      Soit X et Y indépendantes, X ~ Bernoulli(0.3), Y ~ Bernoulli(0.5).
        Alors E[X+Y] = 0.3 + 0.5 = 0.8.
        Var(X+Y) = 0.3·0.7 + 0.5·0.5 = 0.21 + 0.25 = 0.46.
      
    
  

  
    7. Remarques utiles pour la Tle
    
      La linéarité de l'espérance est un outil puissant : on peut calculer E[Σ] même quand les variables sont dépendantes.
      Pour la variance, identifier l'indépendance ou calculer la covariance est essentiel.
      Attention aux formules : Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) seulement si indépendance (ou Cov=0).
    
  

  
    8. Exercices rapides (avec indices)
    
      1) Soit X ~ Poisson(λ) et Y ~ Poisson(μ) indépendantes. Trouver E[X+Y] et Var(X+Y).
      Indice : pour Poisson, E=Var et somme de Poisson indépendantes est Poisson(λ+μ).
    
    
      2) Soient X,Y telles que E[X]=1, E[Y]=2, Var(X)=3, Var(Y)=4 et Cov(X,Y)=−1. Calculer E[X+Y] et Var(X+Y).
      Indice : utilisez les formules vues ci-dessus.
    
    
      Solutions brèves :
      1) E[X+Y]=λ+μ, Var(X+Y)=λ+μ (et X+Y ~ Poisson(λ+μ)).
      2) E[X+Y]=3, Var(X+Y)=3+4+2·(−1)=5.
    
  

  
    Synthèse : espérance = linéaire toujours; variance de somme = somme des variances + 2·somme des covariances ; indépendance simplifie les calculs car les covariances valent 0.
    Bon travail — vérifiez toujours les hypothèses (existence des espérances/variances, indépendance) avant d'appliquer une formule.