Sommes de variables aléatoires : espérance, variance, linéarité et indépendance

Ce cours explique comment calculer et manipuler l'espérance et la variance des sommes de variables aléatoires, en utilisant leur linéarité et leur indépendance.

Objectifs

Comprendre la définition de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire.
Appliquer la propriété de linéarité pour la somme de variables.
Savoir quand deux variables sont indépendantes et comment cela influence la somme.

Notions clés

Espérance : \( \mathbb{E}[X] \) dénote la valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire \( X \).
Variance : \( \operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] \) mesure la dispersion autour de l'espérance.
Linéarité de l'espérance : pour deux variables, \( \mathbb{E}[aX + bY] = a \mathbb{E}[X] + b \mathbb{E}[Y] \).
Indépendance : deux variables \( X \) et \( Y \) sont indépendantes si la connaissance de l'une n'influence pas l'autre. Cela implique que \( \mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X] \times \mathbb{E}[Y] \).

Exemples résolus

Soit \( X \) et \( Y \) deux variables indépendantes avec :

\( \mathbb{E}[X] = 3 \), \( \operatorname{Var}(X) = 4 \)
\( \mathbb{E}[Y] = 5 \), \( \operatorname{Var}(Y) = 9 \)

Calculons l'espérance et la variance de \( Z = X + Y \).

Voir la solution

1. Calcul de l'espérance : \[ \mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[X + Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y] = 3 + 5 = 8 \]

2. Calcul de la variance : \[ \operatorname{Var}(Z) = \operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) \quad \text{(car indépendants)} \] \[ = 4 + 9 = 13 \]

Erreurs fréquentes

Confondre la variance d'une somme avec la somme des variances sans vérifier l'indépendance.
Oublier la propriété de linéarité de l'espérance, notamment pour des variables non indépendantes.
Supposer que \( \operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) \) même si \( X \) et \( Y \) ne sont pas indépendantes.

Récapitulatif

Espérance

Valeur moyenne attendue d'une variable aléatoire

Variance

Mesure la dispersion autour de l'espérance

Linéarité

Pour \(\mathbb{E}[aX + bY]\), on peut écrire \(a \mathbb{E}[X] + b \mathbb{E}[Y]\)

Indépendance

Les variables ne s'influencent pas mutuellement, ce qui simplifie le calcul de leur espérance ou variance

Calcul de la variance d'une somme

Si indépendantes : \( \operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) \)