1. Espérance d'une variable aléatoire

L'espérance, notée \( \mathbb{E}(X) \), mesure la moyenne théorique d'une variable aléatoire \( X \). Elle est définie en fonction du type de variable :

• Variable discrète : \( \mathbb{E}(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i) \)
• Variable continue : \( \mathbb{E}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_X(x) dx \), où \( f_X \) est la fonction de densité.

2. Variance d'une variable aléatoire

La variance, notée \( ext{Var}(X) \), mesure la dispersion de \( X \) autour de son espérance :

\( ext{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))^2] = \mathbb{E}(X^2) - [\mathbb{E}(X)]^2 \)

3. Linéarité de l'espérance

Pour deux variables aléatoires \( X \) et \( Y \), et pour toute constante \( a \) et \( b \) :

\( \mathbb{E}(aX + bY) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y) \)

Ce résultat est valable même si \( X \) et \( Y \) ne sont pas indépendantes.

4. Variance d'une somme de variables indépendantes

Si \( X \) et \( Y \) sont indépendantes :

\( ext{Var}(X + Y) = ext{Var}(X) + ext{Var}(Y) \)

Ce résultat ne s'applique pas si elles ne sont pas indépendantes.

5. Résumé

• L'espérance donne la valeur moyenne théorique : \( \mathbb{E}(aX + bY) = a \mathbb{E}(X) + b \mathbb{E}(Y) \)
• La variance mesure la dispersion : \( ext{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - [\mathbb{E}(X)]^2 \)
• Pour des variables indépendantes, la variance d'une somme est la somme des variances :
• \( ext{Var}(X + Y) = ext{Var}(X) + ext{Var}(Y) \)