Sommes de variables aléatoires : Espérance, variance, linéarité, indépendance

1. Espérance d'une variable aléatoire

L'espérance d'une variable aléatoire \( X \), notée \( \mathbb{E}[X] \), correspond à la moyenne théorique ou valeur attendue de \( X \).

Pour une variable discrète : \[ \mathbb{E}[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i) \]

Pour une variable continue : \[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x \, f_X(x) \, dx \] où \( f_X \) est la fonction de densité.

2. Variance d'une variable aléatoire

La variance de \( X \), notée \( \operatorname{Var}(X) \), mesure la dispersion de \( X \) autour de son espérance.

Définition : \[ \operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}[X])^2 ight] \]

Une autre formule utile : \[ \operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - \left(\mathbb{E}[X] ight)^2 \]

3. Linéarité de l'espérance

Pour deux variables \( X \) et \( Y \) et pour tout réel \( a, b \), on a :

\[ \mathbb{E}[aX + bY] = a \, \mathbb{E}[X] + b \, \mathbb{E}[Y] \]

Cette propriété s'applique même si \( X \) et \( Y \) ne sont pas indépendantes.

4. Linéarité de la variance et indépendance

Pour deux variables \( X \) et \( Y \), si elles sont indépendantes, alors :

\[ \operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) \]

En général, sans indépendance, la formule est :

\[ \operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2 \, \operatorname{Cov}(X, Y) \]

où la covariance \( \operatorname{Cov}(X, Y) \) est définie par : \[ \operatorname{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(Y - \mathbb{E}[Y])] \]

5. Indépendance

Deux variables \( X \) et \( Y \) sont indépendantes si la connaissance de l'une ne donne aucune information sur l'autre. Mathématiquement, cela implique :

\[ P(X = x, Y = y) = P(X = x) imes P(Y = y) \]

Ce qui entraîne que : \[ \mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X] imes \mathbb{E}[Y] \]

Conclusion

La compréhension de l'espérance, de la variance, leur linéarité, ainsi que l'indépendance, est essentielle pour analyser la somme de variables aléatoires. Ces propriétés facilitent les calculs et l'étude des phénomènes probabilistes.