Sommes de variables aléatoires : Loi binomiale

Introduction

La loi binomiale apparaît lorsque l'on répète plusieurs fois une expérience de Bernoulli indépendante, identique, et que l'on s'intéresse au nombre de succès. La somme de plusieurs variables de Bernoulli indépendantes suit une loi binomiale.

Variables de Bernoulli

Une variable aléatoire \( X \) est de Bernoulli avec paramètre \( p \) si :

• Elle ne prend que deux valeurs : 1 (succès) avec probabilité \( p \),
• Et 0 (échec) avec probabilité \( 1 - p \).

Somme de variables de Bernoulli

Considérons \( n \) variables de Bernoulli indépendantes, \( X_1, X_2, ..., X_n \), toutes de paramètre \( p \). La somme : \[ S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n \] représente le nombre de succès parmi ces \( n \) essais.

Définition de la loi binomiale

La variable \( S_n \) suit une loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p \), notée \( ext{Bin}(n, p) \). La probabilité d'obtenir exactement \( k \) succès est donnée par : \[ P(S_n = k) = inom{n}{k} p^{k}(1 - p)^{n - k} \quad ext{pour} \quad k = 0, 1, ..., n \] où \( inom{n}{k} \) est le coefficient binomial.

Propriétés importantes

• Espérance : \(\mathbb{E}[S_n] = np\)
• Variance : \( ext{Var}(S_n) = np(1 - p)\)
• La loi binomiale est discrète, définie uniquement pour \( k \) entiers entre 0 et \( n \).

Conclusion

La loi binomiale permet de modéliser le nombre de succès dans une série d’expériences indépendantes de Bernoulli. Elle est fondamentale en probabilités pour analyser des événements avec deux issues possibles répétés plusieurs fois.