La pression augmente avec la profondeur et la différence de pression entre deux points d'un fluide au repos vaut \(P_2-P_1=\rho g (z_1-z_2)\).

Statique des fluides — loi hydrostatique

Niveau : 1ère. Durée estimée : 20–30 minutes.

Objectifs

Comprendre pourquoi la pression varie avec la profondeur.
Savoir déduire et utiliser la relation \(P_2-P_1=\rho g (z_1-z_2)\).
Appliquer la loi à des problèmes simples (profondeur, pression absolue, poussée).

Notions clés

Définitions simples

- Pression locale : la pression \(P\) en un point d'un fluide au repos est la force normale par unité de surface exercée par le fluide. Son unité SI est le pascal (\(1\ \mathrm{Pa}=1\ \mathrm{N\,m^{-2}}\)).
- Masse volumique : \(\rho\) en \(\mathrm{kg\,m^{-3}}\).
- Accélération de la pesanteur : \(g\approx 9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\).

Formule principale

Si deux points d'un même fluide au repos sont à des altitudes (ou hauteurs) \(z_1\) et \(z_2\), la relation entre leurs pressions est :

\[ P_2 - P_1 = \rho g (z_1 - z_2) \]

Remarque : le signe dépend de la convention de signe pour \(z\). Ici \(z\) croît vers le haut, donc plus bas signifie \(z\) plus petit et la pression augmente.

Raisonnement bref (intuitif)

Imagine une colonne verticale de fluide. La tranche de fluide au-dessus d'un point exerce une force due à son poids ; répartie sur la surface, cela ajoute une pression proportionnelle à la masse de la colonne, donc à \(\rho g h\).

Quel facteur fait directement augmenter la pression quand on descend dans l'eau ?

La température uniquement
La profondeur (hauteur de colonne d'eau au-dessus)
La couleur de l'eau

La profondeur : plus il y a de colonne d'eau au-dessus, plus son poids augmente la pression en bas.

Démonstration élémentaire

Considérons une colonne verticale de section constante \(S\). Pour une tranche d'épaisseur \(dz\), l'équilibre vertical impose :

Étape 1 : Force exercée par le fluide au bord supérieur et inférieur : \(P(z)S\) et \(P(z+dz)S\).

Étape 2 : Poids de la tranche : \(\rho S\,dz\,g\).

Étape 3 : Équilibre (fluide au repos) : \(P(z)S - P(z+dz)S - \rho S\,dz\,g = 0\).

Étape 4 : En divisant par \(S\) et en passant au premier ordre en \(dz\) on obtient \( -\dfrac{dP}{dz} = \rho g\), donc \(\dfrac{dP}{dz} = -\rho g\).

Intégration entre deux hauteurs \(z_1\) et \(z_2\) :

\begin{align} \int_{P_1}^{P_2} dP &= -\rho g \int_{z_1}^{z_2} dz \\ P_2 - P_1 &= -\rho g (z_2 - z_1) = \rho g (z_1 - z_2) \end{align}

En prenant \(z\) vers le haut, quel est le signe de \(\dfrac{dP}{dz}\) ?

Négatif (la pression diminue en montant)
Positif (la pression augmente en montant)
Zero (la pression est la même partout)

\(\dfrac{dP}{dz}=-\rho g\) est négatif : en montant, il y a moins de fluide au-dessus, donc la pression baisse.

Figure explicative

Schéma d'une colonne de fluide avec deux points à différentes profondeurs.

Exemples résolus

Voir la solution

On prend le point 1 à la surface (pression \(P_1=P_{atm}\) et hauteur \(z_1=z_s\)), et le point 2 à la profondeur \(h=10\ \mathrm{m}\) donc \(z_2=z_s-h\). On utilise :

\[ P_2 = P_1 + \rho g (z_1 - z_2) = P_{atm} + \rho g h \]

Étape 1 : Calcul de la surpression \(\Delta P = \rho g h\).

Étape 2 : Valeur numérique : \(\Delta P = 1000 \times 9{,}81 \times 10 = 9{,}81\times10^4\ \mathrm{Pa}.\)

Étape 3 : Pression absolue : \(P_2 = 1{,}01\times10^5 + 9{,}81\times10^4 = 1{,}991\times10^5\ \mathrm{Pa}\) (≈ \(1{,}97\ \mathrm{bar}\)).

Quelle est la surpression à 20 m dans la même eau (arrondie) ?

~1.0×10^4 Pa
~4.9×10^3 Pa
~1.96×10^5 Pa

Surpression \(=\rho g h = 1000\times9{,}81\times20 \approx 1{,}962\times10^5\ \mathrm{Pa}\).

Erreurs fréquentes

Oublier d'additionner la pression atmosphérique pour obtenir la pression absolue.
Utiliser une valeur de \(\rho\) inadaptée (eau douce vs eau de mer : \(\rho\) ≈ 1025 kg·m⁻³ pour l'eau de mer).
Appliquer la relation à un gaz compressible sans tenir compte de la variation de \(\rho\) avec la pression et la température.

Peut-on appliquer directement \(P_2-P_1=\rho g (z_1-z_2)\) à l'atmosphère sur 10 km ?

Non, car l'air est compressible et sa densité varie avec l'altitude
Oui, toujours
Oui, si on prend \(\rho\) = 1000 kg·m⁻³

La formule suppose \(\rho\) constant ; pour l'atmosphère, \(\rho\) décroît avec l'altitude, il faut utiliser l'équation d'état ou l'intégration avec \(\rho(z)\).

Récapitulatif

La loi hydrostatique relie la différence de pression à la différence de hauteur :

\[ P_2 - P_1 = \rho g (z_1 - z_2) \]

Utilise-la pour : estimation de la pression à une profondeur, calcul de la poussée d'Archimède (en combinant avec le volume immergé), et vérification d'équilibres hydrostatiques.

Cartes mémo

Loi hydrostatique

\(P_2-P_1=\rho g (z_1-z_2)\)

Unité de la pression

Pascal, \(1\ \mathrm{Pa}=1\ \mathrm{N\,m^{-2}}\)

Surpression

\(\Delta P=\rho g h\) pour une profondeur \(h\)

Quand attention ?

Gaz compressibles ou variations importantes de \(\rho\)