Statique des fluides — Loi hydrostatique

Niveau : 1ère • Thème : Fluide au repos • Détail : P2 - P1 = ρ g (z1 - z2)

Objectifs

Comprendre la notion de pression dans un fluide au repos.
Déduire et utiliser la relation P2 - P1 = ρ g (z1 - z2).
Appliquer la formule à des problèmes pratiques (variation de pression, profondeur, vases communicants).

Rappels et définitions

Pression : P (en pascal, Pa) = force normale / surface.
Masse volumique : ρ (kg·m⁻³). Ex. eau pure ≈ 1000 kg·m⁻³.
Accélération de la pesanteur : g ≈ 9,81 m·s⁻² (arrondir souvent à 9,8 ou 10 selon l'exercice).
Coordonnée verticale z : choisir un sens (ici on prendra z positif vers le haut).

Déduction de la loi hydrostatique

Considérons un fluide incompressible au repos. Prenons deux points A et B de coordonnées verticales z1 et z2 et de pressions P1 et P2. Considérons un petit cylindre de surface S et de hauteur Δz entre A et B. L'équilibre des forces verticales (pression et poids) donne :

P1·S - P2·S - ρ·S·Δz·g = 0

Donc :

P2 - P1 = ρ g (z1 - z2)

Interprétation : la différence de pression entre deux points ne dépend que de la masse volumique, de la gravité et de la différence de hauteur (et non de la forme ou de la quantité de fluide).

Forme usuelle

Avec z mesurée positivement vers le haut, on obtient souvent :

P(z) = P(reference) + ρ g (z_reference - z)

Si z augmente vers le haut, la pression augmente quand on descend (z diminue). Pour une profondeur h = z1 - z2 (positif si le point 2 est plus bas que 1) :

ΔP = P2 - P1 = ρ g h

Conséquences importantes

La pression hydrostatique dépend uniquement de la profondeur et de ρ, pas du volume total du fluide (paradoxe hydrostatique).
Principe de Pascal : une variation de pression appliquée en un point d'un fluide incompressible se transmet intégralement.
Applications : baromètres, vases communicants, pressions sur les parois, plongée.

Exemples

Exemple 1 — Différence de pression entre deux profondeurs

Dans l'eau (ρ = 1000 kg·m⁻³), calculer la différence de pression entre la surface (z1 = 0) et un point à 2,0 m de profondeur (z2 = −2,0 m).

Δz = z1 - z2 = 0 - (−2,0) = 2,0 m
ΔP = ρ g Δz = 1000 × 9,81 × 2,0 = 19620 Pa ≈ 1,96 × 10⁴ Pa ≈ 0,196 bar

Exemple 2 — Pression absolue à une profondeur

Si l'atmosphère exerce P_atm = 1,01×10⁵ Pa à la surface, quelle est la pression absolue à 10 m de profondeur dans l'eau ?

ΔP = ρ g h = 1000 × 9,81 × 10 = 9,81 × 10⁴ Pa
P_abs = P_atm + ΔP ≈ 1,01×10⁵ + 9,81×10⁴ = 1,991×10⁵ Pa ≈ 1,97 bar

Méthode rapide pour résoudre un exercice

Choisir l'origine et le sens de z (souvent z positif vers le haut).
Identifier z1 et z2 (ou la profondeur h = z1 − z2).
Utiliser ΔP = ρ g (z1 − z2) avec ρ et g adaptés.
Vérifier les unités (SI) : ρ en kg·m⁻³, g en m·s⁻², z en m → P en Pa.

Exercices rapides (à résoudre)

Calculer la pression supplémentaire exercée par 50 cm d'eau.
Deux cuves communicantes contiennent un liquide de masse volumique 800 kg·m⁻³. Si la colonne d'un côté est 0,6 m plus haute que l'autre, quelle est la différence de pression à la base commune ?
Expliquez pourquoi la pression à une même profondeur est la même dans deux récipients de formes différentes.

Résumé

Pour un fluide incompressible et au repos : P2 - P1 = ρ g (z1 - z2). La pression augmente linéairement en descendant ; elle dépend de la profondeur et de la masse volumique, pas de la forme ou du volume du fluide.