Statistique descriptive : Moyenne pondérée, écart interquartile, écart type

Introduction

La statistique descriptive permet d'analyser et de résumer un ensemble de données. Nous allons étudier trois outils essentiels : la moyenne pondérée, l'écart interquartile et l'écart type.

1. Moyenne pondérée

La moyenne pondérée est une moyenne où chaque valeur a un poids ou coefficient associé, indiquant son importance. Elle se calcule avec la formule :

\[ 
	ext{Moyenne pondérée} = rac{\sum_{i=1}^{n}x_i 	imes w_i}{\sum_{i=1}^{n}w_i} 
\]

où :

• \( x_i \) : chaque valeur
• \( w_i \) : le poids associé à chaque valeur

Exemple : si on a deux notes, 12 avec un coefficient 2, et 14 avec un coefficient 3 :

\[ 
	ext{Moyenne} = rac{12 	imes 2 + 14 	imes 3}{2 + 3} = rac{24 + 42}{5} = 13.2 \]

2. Écart interquartile (ÉI)

L'écart interquartile mesure la dispersion des valeurs en se concentrant au centre de la distribution. Il est calculé comme la différence entre le troisième quartile (\(Q_3\)) et le premier quartile (\(Q_1\)) :

\[ 	ext{ÉI} = Q_3 - Q_1 \]

Étapes pour le calcul :

1. Ordonner les données
2. Calculer \(Q_1\) (le quartile inférieur)
3. Calculer \(Q_3\) (le quartile supérieur)
4. Soustraire \(Q_1\) de \(Q_3\)

Ce mesure indique l'étendue du milieu des données, aidant à détecter la dispersion ou la présence de valeurs atypiques.

3. Écart type (σ ou s)

L'écart type est une mesure de la dispersion des données par rapport à la moyenne. La formule pour un ensemble de \(n\) données est :

\[ \ \sigma = \sqrt{rac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - ar{x})^2} \]

pour la population, ou :

\[ \ s = \sqrt{rac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - ar{x})^2} \]

où :

• \( ar{x} \) : la moyenne des données
• \( x_i \) : chaque valeur
• \( n \) : le nombre de valeurs

L'écart type permet de connaître la variabilité des données : un écart type faible indique des valeurs proches de la moyenne, un écart élevé indique une dispersion importante.

Conclusion

Ces trois indicateurs permettent de décrire efficacement une série de données. La moyenne pondérée ajuste la moyenne selon l'importance de chaque valeur, l'écart interquartile mesure la dispersion au centre de la distribution, et l'écart type fournit une vision globale de la variabilité.