Statistique descriptive : Moyenne pondérée, Écart interquartile et Écart type

1. Moyenne pondérée

La moyenne pondérée permet de calculer une moyenne en prenant en compte l'importance relative de chaque valeur, appelée poids.

Pour un ensemble de valeurs \( x_1, x_2, ..., x_n \) avec des poids \( w_1, w_2, ..., w_n \), la moyenne pondérée est :

\( ar{x}_w = rac{\sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} \)

Exemple : si on a 3 notes 12, 15, 14 avec des coefficients 2, 3, 1, la moyenne pondérée est :

\( ar{x}_w = rac{2 imes 12 + 3 imes 15 + 1 imes 14}{2 + 3 + 1} = rac{24 + 45 + 14}{6} = rac{83}{6} pprox 13.83 \)

2. Écart interquartile

L'écart interquartile (EI) est une mesure de dispersion qui indique l'étendue du milieu des données.

Il se calcule comme la différence entre le troisième quartile \( Q_3 \) et le premier quartile \( Q_1 \) :

\( EI = Q_3 - Q_1 \)

Les quartiles divisent la série de données en quatre parties. Si l'on classe les données par ordre croissant, :

• Q₁ est la médiane de la première moitié des données
• Q₃ est la médiane de la seconde moitié des données

Exemple : pour les données 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21 :

Ordonner : 3, 5, 7, 8, 12, 14, 21

Q₁ = 5, Q₃ = 14, donc

\( EI = 14 - 5 = 9 \)

3. Écart type

L'écart type mesure la dispersion des données par rapport à la moyenne. Plus il est faible, plus les valeurs sont proches de la moyenne.

Pour un ensemble de \( n \) valeurs \( x_1, x_2, ..., x_n \) de moyenne \( ar{x} \)

L'écart type \( \sigma \) est :

\( \sigma = \sqrt{rac{\sum_{i=1}^n (x_i - ar{x})^2 }{n} } \)

Exemple : avec les notes 12, 15, 14, la moyenne est :

\( ar{x} = rac{12 + 15 + 14}{3} = rac{41}{3} pprox 13.67 \)

Calculons l'écart type :

\( \sigma = \sqrt{rac{(12 - 13.67)^2 + (15 - 13.67)^2 + (14 - 13.67)^2}{3}} \)

= \(\sqrt{rac{2.78 + 1.78 + 0.11}{3}} = \sqrt{rac{4.67}{3}} pprox \sqrt{1.56} pprox 1.25 \)

Ce qui montre que les notes ont une dispersion moyenne d'environ 1,25 point autour de la moyenne.