Statistiques (4e)

Faire des statistiques, c'est ranger des informations sur un groupe dans un tableau, les résumer par des nombres (effectifs, fréquences, moyenne) et les montrer avec des graphiques pour les comprendre d'un seul coup d'œil.

Objectifs

Utiliser le vocabulaire : population, individu, caractère, valeur, effectif, effectif total.
Calculer des fréquences (en fraction, en écriture décimale et en pourcentage) et des effectifs cumulés.
Regrouper des données en classes.
Calculer une moyenne simple, une moyenne pondérée et une moyenne à partir de classes.
Lire et construire un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire et un histogramme.

1. Le vocabulaire des statistiques

Population : l'ensemble étudié (les 25 élèves de la classe).
Individu : chaque élément de la population (un élève).
Caractère : ce que l'on étudie (le nombre de frères et sœurs).
- caractère quantitatif : il se mesure par un nombre (âge, taille, note, nombre de frères et sœurs) ;
- caractère qualitatif : ce n'est pas un nombre (sport préféré, couleur, moyen de transport).
Valeur (ou modalité) : une réponse possible (0, 1, 2…).
Effectif d'une valeur : le nombre d'individus qui ont cette valeur.
Effectif total : le nombre total d'individus (ici 25).

Voici les réponses de la classe, rangées dans un tableau d'effectifs :

Nombre de frères et sœurs	0	1	2	3	4	Total
Effectif	3	6	8	5	3	25

La valeur qui a le plus grand effectif s'appelle le mode : ici, c'est \(2\) (8 élèves).

Dans une enquête sur le moyen de transport utilisé pour venir au collège (à pied, moto, bus, gbaka), le caractère étudié est…

quantitatif
qualitatif
un effectif

Un moyen de transport n'est pas un nombre : le caractère est qualitatif.

Dans le tableau ci-dessus, combien d'élèves ont au moins 3 frères et sœurs ?

« Au moins 3 » signifie 3 ou 4 : \(5 + 3 = 8\) élèves.

2. Fréquences et effectifs cumulés

La fréquence d'une valeur est la part de la population qui a cette valeur :

\[ \text{fréquence} = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}} \]

On peut l'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage (on multiplie par \(100\)). La somme de toutes les fréquences vaut \(1\), soit \(100\,\%\).

L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs de cette valeur et de toutes les valeurs plus petites.

flowchart LR
  A[Effectif de la valeur] --> B[Diviser par effectif total]
  B --> C[Frequence decimale]
  C --> D[Multiplier par 100]
  D --> E[Pourcentage]

Exemple résolu : compléter le tableau

Calcule la fréquence en pourcentage de chaque valeur et les effectifs cumulés croissants. Cherche d'abord.

Valeur 0 : \(\frac{3}{25} = 0{,}12\), soit \(12\,\%\). Valeur 1 : \(\frac{6}{25} = 0{,}24\), soit \(24\,\%\).

Valeur 2 : \(\frac{8}{25} = 0{,}32\), soit \(32\,\%\). Valeur 3 : \(\frac{5}{25} = 0{,}20\), soit \(20\,\%\). Valeur 4 : \(\frac{3}{25} = 0{,}12\), soit \(12\,\%\).

Vérification : \(12 + 24 + 32 + 20 + 12 = 100\), le total fait bien \(100\,\%\).

Effectifs cumulés croissants : \(3\), puis \(3 + 6 = 9\), puis \(9 + 8 = 17\), puis \(17 + 5 = 22\), puis \(22 + 3 = 25\) (on retrouve l'effectif total).

Valeur	0	1	2	3	4	Total
Effectif	3	6	8	5	3	25
Fréquence (%)	12	24	32	20	12	100
Effectif cumulé croissant	3	9	17	22	25

Dans une classe de 36 élèves, 9 jouent au football en club. Quelle est la fréquence de ces élèves ?

\(25\,\%\)
\(9\,\%\)
\(36\,\%\)

\(\frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0{,}25\), soit \(25\,\%\).

3. Regrouper les données en classes

On a demandé à 40 élèves de Cotonou la durée de leur trajet jusqu'au collège, en minutes. La classe \([10\,;\,20[\) contient les durées supérieures ou égales à \(10\) et strictement inférieures à \(20\).

Durée (min)	\([0\,;\,10[\)	\([10\,;\,20[\)	\([20\,;\,30[\)	\([30\,;\,40[\)	\([40\,;\,50[\)	Total
Effectif	8	14	10	6	2	40

On représente un regroupement en classes de même amplitude par un histogramme : des rectangles accolés, dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif.

La classe qui a le plus grand effectif est la classe modale : ici \([10\,;\,20[\).

Combien d'élèves mettent moins de 20 minutes pour venir au collège ?

« Moins de 20 minutes » regroupe les classes \([0\,;\,10[\) et \([10\,;\,20[\) : \(8 + 14 = 22\) élèves.

4. La moyenne

Moyenne simple

Pour une liste de valeurs :

\[ \text{moyenne} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}} \]

Pour les mangues : \(\frac{12 + 15 + 9 + 14}{4} = \frac{50}{4} = 12{,}5\) mangues par personne.

Moyenne pondérée (à partir d'un tableau d'effectifs)

Quand une valeur apparaît plusieurs fois, on la multiplie par son effectif (ou son coefficient) :

\[ \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_p x_p}{n_1 + n_2 + \dots + n_p} \]

Exemple résolu 1 : nombre moyen de frères et sœurs

Reprends le tableau de la partie 1 et calcule le nombre moyen de frères et sœurs par élève. Cherche d'abord.

Voir la solution

\[ \bar{x} = \frac{0 \times 3 + 1 \times 6 + 2 \times 8 + 3 \times 5 + 4 \times 3}{25} = \frac{0 + 6 + 16 + 15 + 12}{25} = \frac{49}{25} = 1{,}96 \]

En moyenne, un élève de cette classe a \(1{,}96\) frère ou sœur, soit presque 2. Une moyenne n'est pas forcément une des valeurs de la série.

Exemple résolu 2 : la moyenne trimestrielle d'Awa

Awa a eu \(14\) en mathématiques (coefficient \(4\)), \(11\) en français (coefficient \(3\)) et \(16\) en anglais (coefficient \(2\)). Quelle est sa moyenne ?

On multiplie chaque note par son coefficient : \(14 \times 4 = 56\) ; \(11 \times 3 = 33\) ; \(16 \times 2 = 32\).

Somme des produits : \(56 + 33 + 32 = 121\). Somme des coefficients : \(4 + 3 + 2 = 9\).

Moyenne : \(\frac{121}{9} \approx 13{,}44\). Awa a environ \(13{,}44\) sur \(20\).

Moyenne avec des classes

Quand les données sont regroupées en classes, on remplace chaque classe par son centre (le milieu de la classe), puis on calcule une moyenne pondérée.

Exemple résolu 3 : durée moyenne du trajet

Centres des classes : \(\frac{0 + 10}{2} = 5\), puis \(15\), \(25\), \(35\) et \(45\).

Produits centre fois effectif : \(5 \times 8 = 40\) ; \(15 \times 14 = 210\) ; \(25 \times 10 = 250\) ; \(35 \times 6 = 210\) ; \(45 \times 2 = 90\).

Somme : \(40 + 210 + 250 + 210 + 90 = 800\).

Moyenne : \(\frac{800}{40} = 20\). La durée moyenne du trajet est d'environ \(20\) minutes (c'est une valeur approchée, car on a remplacé chaque durée par le centre de sa classe).

Kofi a eu \(10\), \(12\) et \(17\) à trois devoirs de même coefficient. Quelle est sa moyenne ?

\(12\)
\(39\)
\(13\)

\(\frac{10 + 12 + 17}{3} = \frac{39}{3} = 13\).

5. Représenter une série : diagrammes

Le diagramme en bâtons

Pour un caractère quantitatif avec peu de valeurs : chaque valeur reçoit un bâton dont la hauteur est proportionnelle à son effectif. Suis la construction pour la série des frères et sœurs.

On trace deux axes : les valeurs (0 à 4) en horizontal, les effectifs en vertical, avec une échelle régulière (ici 1 élève pour 20 unités).

Pour chaque valeur, on trace un bâton dont la hauteur correspond à son effectif : 3, 6, 8, 5 et 3.

Le plus haut bâton montre le mode : la valeur 2, choisie par 8 élèves.

Le diagramme circulaire

Le disque entier représente \(100\,\%\) de la population, soit \(360^\circ\). L'angle du secteur d'une valeur est proportionnel à son effectif :

\[ \text{angle} = \text{fréquence} \times 360^\circ \]

Pour la série des frères et sœurs, cherche d'abord les angles avant de regarder la solution.

Voir la solution

\[ \begin{align} 0{,}12 \times 360^\circ &= 43{,}2^\circ \quad (\text{valeurs } 0 \text{ et } 4)\\ 0{,}24 \times 360^\circ &= 86{,}4^\circ \quad (\text{valeur } 1)\\ 0{,}32 \times 360^\circ &= 115{,}2^\circ \quad (\text{valeur } 2)\\ 0{,}20 \times 360^\circ &= 72^\circ \quad (\text{valeur } 3) \end{align} \]

Vérification : \(43{,}2 + 86{,}4 + 115{,}2 + 72 + 43{,}2 = 360\).

Dans un diagramme circulaire, une valeur de fréquence \(25\,\%\) correspond à un angle de…

\(25^\circ\)
\(90^\circ\)
\(180^\circ\)

\(0{,}25 \times 360^\circ = 90^\circ\) : un quart du disque.

Récapitulatif

Population, individu, caractère (qualitatif ou quantitatif), valeur, effectif, effectif total.
Fréquence \(= \frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\) ; la somme des fréquences vaut \(1\) ou \(100\,\%\).
Effectif cumulé croissant : somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales.
Moyenne pondérée : somme des produits valeur fois effectif, divisée par l'effectif total ; avec des classes, on utilise les centres.
Diagramme en bâtons, histogramme, diagramme circulaire (angle \(= \text{fréquence} \times 360^\circ\)).

Cartes mémo

Effectif

Nombre d'individus qui ont une valeur donnée.

Fréquence

\(\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}\), en fraction, décimal ou pourcentage.

Effectif cumulé croissant

Nombre d'individus ayant une valeur inférieure ou égale à la valeur considérée.

Moyenne pondérée

\(\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_p x_p}{n_1 + \dots + n_p}\).

Mode

Valeur (ou classe) qui a le plus grand effectif.

Angle d'un secteur

\(\text{fréquence} \times 360^\circ\).