Résoudre un problème de maths en 4 étapes : trois problèmes de 4e pas à pas

Comprendre, organiser les données, choisir et appliquer une stratégie, puis vérifier : la même méthode marche pour une équation, une figure ou un calcul littéral.

Objectifs du cours

Lire un énoncé en repérant la question, les données et l'inconnue.
Choisir une stratégie adaptée : mettre en équation, utiliser une propriété de géométrie, écrire une expression littérale.
Vérifier sa réponse avec l'énoncé et avec un exemple numérique.
Rédiger une phrase de conclusion avec l'unité.

1. La méthode en 4 étapes

flowchart LR
  A[1 Comprendre] --> B[2 Organiser les données]
  B --> C[3 Choisir et appliquer]
  C --> D[4 Vérifier et conclure]
  D -- erreur --> A

Comprendre : lire l'énoncé deux fois, souligner la question, dire avec ses mots ce qu'on cherche.
Organiser les données : lister les nombres avec leurs unités, faire un schéma, nommer l'inconnue (par exemple \( x \)).
Choisir et appliquer une stratégie : équation, propriété de géométrie (Pythagore…), calcul littéral, puis calculer proprement.
Vérifier et conclure : remplacer la réponse dans l'énoncé, regarder si l'ordre de grandeur est logique, écrire une phrase réponse avec l'unité.

Quelle est la toute première chose à faire devant un problème ?

Additionner tous les nombres de l'énoncé.
Repérer la question et dire ce que l'on cherche.
Écrire directement la conclusion.

Sans savoir ce que l'on cherche, on risque de faire des calculs inutiles. Comprendre la question vient toujours en premier.

2. Stratégie « mettre en équation »

Quand on cherche une quantité inconnue reliée à d'autres par des opérations, on la nomme \( x \) et on traduit l'énoncé en équation.

Exemple résolu 1 : le prix d'un cahier

Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

Comprendre. On cherche le prix d'un cahier, en F CFA.

Organiser. 3 cahiers au même prix, un sac à 2 500 F CFA, total 4 300 F CFA. On note \( x \) le prix d'un cahier.

Mettre en équation. \[ 3x + 2\,500 = 4\,300 \]

Résoudre. \begin{align} 3x &= 4\,300 - 2\,500 \\ 3x &= 1\,800 \\ x &= \frac{1\,800}{3} = 600 \end{align}

Vérifier. \( 3 \times 600 + 2\,500 = 1\,800 + 2\,500 = 4\,300 \). C'est bien le total payé.

Conclure. Un cahier coûte 600 F CFA.

Exemple résolu 2 : un partage inégal

Moussa et Ali se partagent 15 000 F CFA gagnés en lavant des motos. Moussa a travaillé plus longtemps et reçoit 3 000 F CFA de plus qu'Ali. Combien reçoit chacun ? Cherche d'abord.

Voir la solution

On note \( x \) la part d'Ali ; la part de Moussa est alors \( x + 3\,000 \).

\begin{align} x + (x + 3\,000) &= 15\,000 \\ 2x + 3\,000 &= 15\,000 \\ 2x &= 12\,000 \\ x &= 6\,000 \end{align}

Ali reçoit 6 000 F CFA et Moussa \( 6\,000 + 3\,000 = 9\,000 \) F CFA. Vérification : \( 6\,000 + 9\,000 = 15\,000 \) et \( 9\,000 - 6\,000 = 3\,000 \). Les deux conditions de l'énoncé sont respectées.

« Le double d'un nombre, diminué de 7, vaut 25. » Quelle équation traduit cette phrase ?

\( 2x - 7 = 25 \)
\( 2(x - 7) = 25 \)
\( x^2 - 7 = 25 \)

On prend d'abord le double, \( 2x \), puis on enlève 7. La solution est \( x = 16 \) : \( 2 \times 16 - 7 = 25 \).

3. Stratégie « faire une figure et utiliser une propriété »

En géométrie, l'étape « organiser » consiste à dessiner une figure codée : on y place les longueurs connues et l'angle droit, puis on reconnaît la propriété à utiliser.

Exemple résolu 3 : l'échelle contre le mur

L'échelle [AC] s'appuie sur le mur : on dessine le sol, le mur et l'échelle.

On code les données : AB = 3 m au sol et l'angle droit en B, car le mur est vertical et le sol horizontal.

Le triangle ABC est rectangle en B : le théorème de Pythagore donne la hauteur BC = 4 m.

Comprendre. On cherche la hauteur BC atteinte par le haut de l'échelle.

Organiser. Triangle ABC rectangle en B, hypoténuse AC = 5 m, AB = 3 m.

Appliquer Pythagore. \begin{align} AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\ 5^2 &= 3^2 + BC^2 \\ BC^2 &= 25 - 9 = 16 \\ BC &= \sqrt{16} = 4 \end{align}

Vérifier. \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \). Et 4 m est plus petit que 5 m : logique, l'échelle est plus longue que la hauteur qu'elle atteint.

Conclure. L'échelle atteint une hauteur de 4 m sur le mur.

Dans un triangle rectangle, les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 8 cm. Combien mesure l'hypoténuse ?

14 cm
\( \sqrt{28} \) cm
10 cm

\( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \), donc l'hypoténuse mesure \( \sqrt{100} = 10 \) cm.

4. Stratégie « calcul littéral » et vérification par un exemple

Quand une grandeur dépend d'une autre, on écrit une expression avec une lettre, on la simplifie, puis on contrôle la simplification avec un nombre au hasard.

Exemple résolu 4 : les dimensions du champ

Cherche d'abord.

Comprendre. On cherche la largeur et la longueur, en mètres. Le grillage fait le tour : c'est le périmètre.

Organiser. Largeur \( \ell \), longueur \( \ell + 8 \), périmètre 64 m.

Écrire et réduire l'expression. \[ P = 2\big(\ell + (\ell + 8)\big) = 2(2\ell + 8) = 4\ell + 16 \]

Contrôler la réduction avec un exemple. Pour \( \ell = 1 \) : \( 2(1 + 9) = 20 \) et \( 4 \times 1 + 16 = 20 \). Les deux écritures donnent le même résultat.

Résoudre. \begin{align} 4\ell + 16 &= 64 \\ 4\ell &= 48 \\ \ell &= 12 \end{align}

Vérifier et conclure. Longueur \( 12 + 8 = 20 \) m ; périmètre \( 2(12 + 20) = 64 \) m. Le champ mesure 12 m de large et 20 m de long.

Un élève affirme que \( (x + 2)^2 = x^2 + 4 \). Quel test le contredit ?

Pour \( x = 0 \) : \( 4 = 4 \).
Pour \( x = 1 \) : \( 9 \) et \( 5 \).
Aucun test : c'est toujours vrai.

Pour \( x = 1 \), \( (1 + 2)^2 = 9 \) alors que \( 1^2 + 4 = 5 \). Un seul contre-exemple suffit à prouver que l'égalité est fausse. Attention : un test qui marche (comme \( x = 0 \)) ne prouve pas qu'une égalité est vraie.

Erreurs fréquentes

Commencer les calculs sans avoir écrit ce que représente \( x \).
Oublier les unités ou mélanger des unités (mètres et centimètres) dans un même calcul.
Ne vérifier qu'une partie des conditions de l'énoncé.
Utiliser Pythagore dans un triangle dont on n'a pas justifié qu'il est rectangle.
Croire qu'un exemple numérique qui marche prouve une égalité : il peut seulement la contredire.
Terminer sans phrase réponse.

Récapitulatif

Pour tout problème : 1. comprendre la question ; 2. organiser les données (liste, schéma, inconnue nommée) ; 3. choisir la stratégie (équation, propriété de géométrie, calcul littéral) et calculer ; 4. vérifier dans l'énoncé, contrôler avec un exemple numérique et conclure par une phrase avec l'unité.

Étape 1 : comprendre

Souligner la question et dire avec ses mots ce que l'on cherche.

Étape 2 : organiser

Lister les données avec unités, faire un schéma, nommer l'inconnue.

Étape 3 : stratégie

Équation, propriété de géométrie ou calcul littéral, puis calcul propre.

Étape 4 : vérifier

Remplacer dans l'énoncé, contrôler l'ordre de grandeur, conclure avec l'unité.

Contre-exemple

Un seul nombre qui ne marche pas suffit à prouver qu'une égalité est fausse.