Objectifs

Ce cours synthétique vise à relier les structures de contrôle (boucles et conditionnelles) aux algorithmes courants en dénombrement, étude de suites et approche d intégration numérique, avec une logique accessible au niveau Terminale.

Dénombrement et structures de contrôle

Idée générale : compter des configurations possibles en utilisant des boucles et des tests conditionnels pour vérifier des critères (par exemple, combinaisons, permutations, placements).

• Algorithme de dénombrement par itération
• Éviter les répétitions et les configurations invalides avec des tests si (if) et des continue/break

Exemple simple : compter les paires (i, j) avec 0 ≤ i < j < n

// Comptage de paires distinctes parmi n éléments
int n; long count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
  for (int j = i+1; j < n; j++) {
    count++;
  }
}

Suites et récurrences

Notions clé : suite arithmétique et suite géométrique, puis récurrence simple.

• Suite arithmétique : u(n) = u0 + n d
• Suite géométrique : v(n) = v0 · r^n
• Récurrence du premier ordre : a(n+1) = p · a(n) + q

Exemple : génération des n premiers termes et calcul de la somme par accumulation dans une boucle.

// Somme des n premiers termes d une suite arithmétique: u_k = u0 + k d
int n; int u0, d; long somme = 0;
for (int k = 0; k < n; k++) somme += (u0 + k*d);

Intégration numérique

But : approcher une intégrale ∫_a^b f(x) dx par des méthodes itératives utilisant des structures de contrôle et des boucles.

• Règle du trapèze : simplicité et stabilité
• Notion générale de précision et choix du pas

Formule de la trapèze avec n intervalles :

// Méthode du trapèze pour l intégrale de f sur [a, b] en n sous-intervalles
double a, b; int n; double h = (b - a) / n;
double somme = 0.0;
for (int i = 1; i < n; i++) somme += f(a + i*h);
somme = (f(a) + 2*somme + f(b)) * h / 2.0;

Remarque : la précision augmente avec n, mais le coût de calcul augmente aussi. On peut améliorer avec d'autres méthodes (Simpson) si nécessaire.