Les Suites Géométriques

Introduction

Une suite géométrique est une liste de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre fixe. Ce nombre fixe s’appelle la raison de la suite.

Définition

Une suite \(\left( u_n ight)\) est dite géométrique s'il existe un réel \(q\) (la raison) tel que :
\[ u_{n+1} = u_n imes q \quad ext{pour tout } n \geq 1 \]

Exemple

Si on commence avec \(u_1 = 3\) et une raison \(q=2\), la suite est :
\(3, 6, 12, 24, 48, ...\)

Formule du terme général

Le \(n\)-ième terme \(u_n\) s'exprime par la formule :
\[ u_n = u_1 imes q^{n-1} \]

Explication simple

Imagine une cascade : chaque étape, tu doubles (si \(q=2\)) le nombre d'eau qu'il y a à la étape précédente. La formule dit que pour trouver un terme n, tu prends le premier, puis tu le multiplies par la raison élevée à la puissance du nombre de marches que tu as monté - 1.

Cas particulier

Si \(q=1\), la suite est constante : tous les termes sont égaux à \(u_1\).

Résumé

• Une suite géométrique : chaque terme est le précédent multiplié par une raison fixe.
• Formule du terme : \( u_n = u_1 imes q^{n-1} \).
• Cas spécial : si \(q=1\), la suite est constante.