Suite Numérique : Définition et Propriétés

1. Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, où chaque nombre est appelé un terme. On note généralement la suite avec la lettre \( (u_n) \), où \( n \) indique la position du terme dans la liste, comme dans \( u_1, u_2, u_3, \ldots \).

Par exemple, la suite \( (2, 4, 6, 8, \ldots) \) est la suite des nombres pairs, où chaque terme est obtenu en ajoutant 2 au terme précédent.

2. Définition de la suite

Une suite peut être définie :

• de façon explicite : par une formule donnant directement le \( n \)-ième terme, par exemple \( u_n = 3n + 1 \).
• de façon récurrente : en exprimant chaque terme en fonction du précédent, par exemple \( u_{n+1} = u_n + 2 \), avec un terme initial donné, comme \( u_1 = 2 \).

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3. Propriétés importantes des suites

• Monotonie : Une suite peut être constamment croissante, décroissante ou fluctuante.
• Limite : Si la suite se rapproche d’un nombre \( L \) quand \( n \) devient très grand, on dit qu’elle a une limite \( L \).
• Convergence : Une suite qui a une limite est dite convergente.
• Divulgence : Si la suite ne « s’approche » pas d’un nombre, elle diverge.

4. Exemple illustratif

Considérons la suite définie par \( u_n = rac{1}{n} \).

• Les premiers termes : \( u_1 = 1 \), \( u_2 = rac{1}{2} \), \( u_3 = rac{1}{3} \), etc.
• La suite diminue et se rapproche de 0 à mesure que \( n \) augmente.
• On dit que \( \lim_{n o \infty} u_n = 0 \).

En résumé :

• Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres.
• Elle peut être définie explicitement ou récursivement.
• Elle possède des propriétés comme la monotonie et la convergence.

Les suites permettent de modéliser des phénomènes variés comme des croissances, des diminuations ou des oscillations dans la vie quotidienne ou en sciences.