Objectifs

• Reconnaître une suite arithmétique et une suite géométrique, et trouver sa raison.
• Écrire le terme général \(u_n\) en fonction de \(n\).
• Calculer la somme de termes consécutifs.
• Étudier le sens de variation de ces suites.
• Utiliser ces suites pour résoudre des problèmes concrets (épargne, prix, croissance).

1. Suites arithmétiques

Définition

Une suite \((u_n)\) est arithmétique s’il existe un réel \(r\), appelé raison, tel que pour tout entier naturel \(n\) :

Pour prouver qu’une suite est arithmétique, on calcule \(u_{n+1} - u_n\) : si le résultat est une constante (il ne dépend pas de \(n\)), c’est la raison \(r\).

Terme général

Pour la tirelire de Mariam : \(u_0 = 5\,000\), \(r = 1\,500\), donc \(u_n = 5\,000 + 1\,500\,n\). Au bout de 10 mois : \(u_{10} = 5\,000 + 15\,000 = 20\,000\) F CFA.

Sens de variation

• Si \(r > 0\), la suite est strictement croissante.
• Si \(r < 0\), la suite est strictement décroissante.
• Si \(r = 0\), la suite est constante.

Les points \((n\,;\,u_n)\) sont alignés : ils sont sur la droite d’équation \(y = u_0 + r\,x\). Fais varier \(u_0\) (noté u) et \(r\) pour voir la pente changer :

Exemple résolu 1 : reconnaître une suite arithmétique

Soit \(u_n = 3n - 7\). La suite \((u_n)\) est-elle arithmétique ? Cherche d’abord.

Exemple résolu 2 : retrouver la suite à partir de deux termes

\((u_n)\) est arithmétique avec \(u_3 = 14\) et \(u_7 = 30\). Trouve \(r\), \(u_0\) puis \(u_n\).

2. Somme de termes d’une suite arithmétique

Exemple résolu 3 : les ventes de Fatou

À Lomé, Fatou vend 200 sachets de jus la semaine 0, puis 15 de plus chaque semaine. Combien en vend-elle la semaine 12 ? Combien au total de la semaine 0 à la semaine 12 ? Cherche, puis dévoile.

3. Suites géométriques

Définition

Une suite \((v_n)\) est géométrique s’il existe un réel \(q\), appelé raison, tel que pour tout entier naturel \(n\) :

Pour le prouver quand les termes ne s’annulent pas, on calcule \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\) : si le quotient est constant, c’est la raison \(q\).

Sens de variation (avec \(v_0 > 0\))

• Si \(q > 1\), la suite est strictement croissante (elle « explose »).
• Si \(0 < q < 1\), la suite est strictement décroissante (elle se rapproche de 0).
• Si \(q = 1\), la suite est constante.
• Si \(q < 0\), les termes changent de signe à chaque rang : la suite n’est pas monotone.

Joue avec \(v_0\) (noté v) et \(q\) : les points \((n\,;\,v_n)\) sont sur la courbe \(y = v_0\, q^x\), qui monte de plus en plus vite si \(q > 1\).

Exemple résolu 4 : un prix qui augmente de 5 % par an

Un sac de riz coûte 10 000 F CFA l’année 0, et son prix augmente de 5 % chaque année. Exprime \(p_n\) puis calcule \(p_2\).

4. Somme de termes d’une suite géométrique

Exemple résolu 5

Calcule \(1 + 3 + 9 + \dots + 3^5\). Cherche d’abord.

Exemple résolu 6

\((w_n)\) est géométrique avec \(w_0 = 2\) et \(q = 2\). Calcule \(w_0 + w_1 + \dots + w_9\).

5. Arithmétique ou géométrique ? La méthode

flowchart TD
A[Suite donnee] --> B[Difference de deux termes consecutifs]
B --> C{Constante}
C -->|oui| D[Arithmetique de raison r]
C -->|non| E[Quotient de deux termes consecutifs]
E --> F{Constant}
F -->|oui| G[Geometrique de raison q]
F -->|non| H[Ni l une ni l autre]

Erreurs fréquentes

• Se tromper dans le nombre de termes d’une somme (de \(u_0\) à \(u_n\) : \(n+1\) termes).
• Écrire \(u_n = u_1 + n\,r\) quand le premier terme est \(u_1\) : la bonne formule est \(u_n = u_1 + (n-1)\,r\).
• Traiter une hausse de pourcentage répétée comme une hausse fixe (arithmétique au lieu de géométrique).
• Conclure qu’une suite est arithmétique après avoir vérifié seulement deux ou trois termes : il faut le prouver pour tout \(n\).

Récapitulatif

Arithmétique : on ajoute \(r\), \(u_n = u_0 + n\,r\), somme = nombre de termes \(\times\) moyenne du premier et du dernier. Géométrique : on multiplie par \(q\), \(v_n = v_0\,q^n\), somme = premier terme \(\times \dfrac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}\). Toujours bien compter les termes.