Les Suites arithmétiques

Introduction

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Dans le cas d'une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence s'appelle la raison de la suite.

Définition

Une suite \(\left( u_n ight)_{n \geq 0}\) ou \(\left( u_n ight)_{n \geq 1}\) est dite arithmétique si il existe un nombre constant \( r \), appelé raison, tel que :

• pour tout \( n \), \(\ u_{n+1} - u_{n} = r \)

Autrement dit, la différence entre deux termes consécutifs est toujours égale à \( r \).

Exemple

Considérons la suite : \( 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14, ... \)

Les différences entre termes sont : \( 5 - 2 = 3 \), \( 8 - 5 = 3 \), \( 11 - 8 = 3 \), ce qui montre que la suite est arithmétique avec une raison \( r = 3 \).

Formule de la suite arithmétique

Si la suite est définie par son premier terme \( u_0 \) (ou \( u_1 \) selon la notation) et sa raison \( r \), alors le terme d'indice \( n \) est donné par :

Si la suite commence à \( n=0 \) :
\[ u_n = u_0 + n 	imes r \]

Si la suite commence à \( n=1 \) :
\[ u_n = u_1 + (n - 1) 	imes r \]

Application

Lorsque vous connaissez le premier terme \( u_0 \) (ou \( u_1 \)) et la raison \( r \), vous pouvez calculer n'importe quel terme de la suite avec la formule :

\[ u_n = u_0 + n imes r \quad ext{ou} \quad u_n = u_1 + (n - 1) imes r \]

Résumé

• Une suite arithmétique a une différence constante entre ses termes : \( u_{n+1} - u_n = r \).
• Le terme général est donnée par : \( u_n = u_0 + n imes r \) (pour une suite débutant à \( n=0 \)).