Suites : Convergence et Récurrence

1. Définition d'une suite

Une suite \(\left( u_n ight)_{n \in \mathbb{N}}\) est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un nombre \(u_n\).

2. Convergence d'une suite

Définition

Une suite \(\left( u_n ight)\) converge vers une limite \(L\) si, pour tout \(arepsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\), \(|u_n - L| < arepsilon\).

Notation

On note : \(\lim_{n o \infty} u_n = L\).

Exemple

La suite \(u_n = rac{1}{n}\) converge vers 0.

3. Techniques pour démontrer la convergence

• Calcul explicite pour une limite évidente.
• Majorations et minorations pour encadrer \(u_n\).
• Test de la suite via des suites connues.

4. Suite définie par récurrence

Définition

Une suite \(\left( u_n ight)\) est définie par une relation de récurrence :

\[ u_{n+1} = f(u_n), \quad u_0 ext{ donné}. \]

Exemple

La suite de Fibonacci :
\( u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \) avec \(u_0=0\) et \(u_1=1\).

Objectifs

• Étudier la convergence de suites récurrentes.
• Rechercher la limite éventuelle \(\ell\) telle que \( \ell = f(\ell) \).

5. Méthode pour analyser la convergence par récurrence

1. Calcul du potentiel point fixe \(\ell\) en résolvant \(\ell = f(\ell)\).
2. Étude de la stabilité : analyser le signataire de \( |f'(\ell)| \).
3. Conclusion : si \(|f'(\ell)| < 1\), la suite converge vers \(\ell\).

6. Exemple d'application

Considérons la suite définie par :

\[ u_{n+1} = rac{1}{2}(u_n + rac{a}{u_n}) \quad ext{avec } u_0 > 0.\]

On montre qu'\(\left( u_n ight)\) converge vers la racine \(\sqrt{a}\).

• Le point fixe est \(\ell = \sqrt{a}\) puisque : \[\ell = rac{1}{2}\left( \ell + rac{a}{\ell} ight)\], ce qui donne \(\ell^2 = a\).
• La stabilité est assurée car \(|f'(\ell)| < 1\).

Conclusion

Les suites récurrentes peuvent converger vers un point fixé. La méthode consiste à déterminer ce point et à vérifier sa stabilité à l'aide de la dérivée de la fonction de récurrence.