Suites : Convergence et Récurrence

1. Introduction aux suites

Une suite est une liste ordonnée de nombres \(\left( u_n ight)_{n \in \mathbb{N}}\). On étudie son comportement en faisant varier n.

2. La convergence d'une suite

Définition

Une suite \(\left( u_n ight)\) converge vers un réel \(L\) si, lorsque n devient très grand, \(u_n\) s'approche de \(L\). Formelement, :

\[ \lim_{n o +\infty} u_n = L \]

Critère de convergence

Pour montrer qu'une suite converge vers L, on doit vérifier que, pour tout \(arepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que, pour tout \(n \geq N\), :

\[ |u_n - L| < arepsilon \]

3. La récurrence

Définition

La méthode de récurrence permet de montrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels. On procède en deux étapes :

1. Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie pour n=0 ou n=1.
2. Hérédité : Supposer qu'elle est vraie pour un n quelconque, puis la démontrer pour n+1.

Exemple

Pour la suite définie par :

\[ u_0 = 1 \quad ext{et} \quad u_{n+1} = rac{u_n + 2}{2} \]

On montre par récurrence qu'en \(n\) :

\[ u_n o 2 \]

Initialisation :

\[ u_0 = 1 \]

Hérédité :

Supposons que \(u_n\) est proche de 2. La suite tend vers 2 si, en faisant la supposition que \(u_n o 2\), on trouve que :

\[ u_{n+1} = rac{u_n + 2}{2} o 2 \]

4. Résumé

• Une suite converge si ses termes se rapprochent d'une limite \(L\).
• La récurrence est un outil essentiel pour établir des propriétés généralisées sur une suite.