Suites et Limites : Concepts et Théorèmes

1. Introduction aux suites

Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels, associant à chaque entier un réel :
\( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \).

2. La notion de limite

2.1 Limites finies

Une suite \( (u_n) \) admet une limite finie \( L \) lorsque, pour tout \(arepsilon > 0\), il existe un entier \( N \) tel que pour tout \( n \geq N \), on a :
\( |u_n - L| < arepsilon \).

2.2 Limites infinies

Une suite tend vers \( +\infty \) si, pour tout \( M > 0 \), il existe un entier \( N \) tel que pour tout \( n \geq N \), on a :
\( u_n > M \).
La suite tend vers \(-\infty\) si, de même, elle devient arbitrairement négative.

3. Théorème des gendarmes

Énoncé

Soit \( (u_n), (v_n), (w_n) \) deux suites, telles que pour tout \( n \) :
\( u_n \leq v_n \leq w_n \).
Si
\(\lim_{n o \infty} u_n = \lim_{n o \infty} w_n = L,\) alors
\(\lim_{n o \infty} v_n = L.\)

Intérêt

C'est un outil pour déterminer la limite d'une suite en la comparant à deux autres suites dont on connaît la limite.

4. Application du théorème

Exemple : Si \( u_n = rac{\sin n}{n} \), on peut l'encadrer par des suites constantes pour déduire sa limite :

-1/n \leq u_n \leq 1/n,

et comme \(\lim_{n o \infty} -1/n = 0\) et \(\lim_{n o \infty} 1/n = 0\), par le théorème des gendarmes, \(\lim_{n o \infty} u_n = 0\).