Les Suites Géométriques

Définition

Une suite géométrique est une suite de nombres étant definiée par : pour tout entier naturel n, à partir d’un terme initial \( u_0 \) et d’un coefficient constant \( r \), appelé raison, la suite est donnée par la relation :

un+1 = un 	imes r

Exemple

Si \( u_0 = 3 \) et \( r = 2 \), alors :

• \( u_1 = 3 imes 2 = 6 \)
• \( u_2 = 6 imes 2 = 12 \)
• \( u_3 = 12 imes 2 = 24 \)

Formule explicite

Pour calculer un terme quelconque \( u_n \), on utilise la formule :

n = u_0 	imes r^n

Caractéristiques

• La suite est entièrement déterminée par \( u_0 \) et \( r \).
• Si \( |r| < 1 \), la suite tend vers 0 quand \( n \) augmente.
• Si \( |r| > 1 \), la suite croît ou décroît exponentiellement.
• Si \( r = 1 \), la suite est constante : \( u_n = u_0 \).

Applications

• Modélisation de croissance ou décroissance exponentielle.
• Calcul de populations, finances, etc.

Il est important de maîtriser ces notions pour aborder plus tard des notions plus complexes en mathématiques et en sciences.