Suites et modélisation de phénomènes discrets

On modélise des phénomènes évoluant par pas discrets à l'aide de suites et de récurrences pour prévoir des trajectoires futures.

Objectifs

Comprendre ce qu'est une suite et raisonner avec des exemples discrets.
Modéliser un phénomène par une récurrence et trouver des termes généraux lorsque possible.
Analyser la stabilité et les comportements à long terme des modèles discrets simples (géométrique et logistic).
Manipulator des outils algébriques et graphiques pour interpréter les résultats.

Notions clés

Notion 1 : Suite et termes. Définition. Une suite est une règle qui associe à chaque entier naturel n un nombre u_n. On écrit \(u_n\) pour désigner le n-ième terme. L'étude porte sur les valeurs et les variations lorsque n augmente.

Notion 2 : Modèles discrets géométriques. Si u_{n+1} = r \, u_n avec r\neq 0, alors la suite est géométrique et sa forme générale est u_n = u_0 \, r^{\,n}. En cas de |r|<1, la suite converge vers 0.

Notion 3 : Modèle discret Logistic. Le modèle discret est donné par u_{n+1} = r \, u_n \left(1 - \frac{u_n}{K}\right), où K est la capacité de charge et r le taux de croissance. Les points fixes satisfont u^* = 0 et u^* = K\left(1 - \frac{1}{r}\right). La stabilité dépend de |f'(u^*)|.

Notion 4 : Métrique et interprétation. Dans un modèle discret, on interprète les termes en fonction d'un pas de temps et on vérifie si les valeurs restent réalistes (non négatives, bornées si nécessaire).

Voir la solution (exemple d'itération)

Exemple : si a_0 = 3, r = 2 et que a_{n+1} = r a_n, alors \[ a_{n} = a_{0} r^{n} \] Pour n = 3 : a_3 = 3 \cdot 2^{3} = 24.

Exemples résolus

Exemple 1 : suite géométrique

Modèle : a_{n+1} = r a_n, a_0 = 3, r = 2.

Solution générale:

\[ a_n = a_0 \, r^{\,n} \]

Étape 1 : écrire la relation de récurrence.

Étape 2 : trouver la forme générale en remarquant que chaque terme est le précédent multiplié par r : \(a_n = a_0 r^n\).

Étape 3 : évaluer pour n = 3 : \(a_3 = 3 \cdot 2^3 = 24\).

Dans une suite géométrique, que représente le facteur r ?

La somme des termes
Le rapport constant entre deux termes consécutifs
La différence entre termes

C'est le rapport constant entre termes successifs : u_{n+1} = r u_n.

Erreurs fréquentes

Confondre pas discret et pas temporel dans les raisonnements.
Oublier l'initialisation a_0 ou mal interpréter le taux de croissance r.
Jouer avec les unités sans vérifier la cohérence des grandeurs.
Ne pas vérifier la faisabilité des valeurs (par exemple des valeurs négatives dans un modèle qui suppose des populations non négatives).

Récapitulatif

Une suite est une règle qui associe à chaque indice un terme u_n.
Modèles discrets importants : suite géométrique et modèle logistic.
Le calcul des termes successifs permet de prévoir des trajectoires et de discuter de la stabilité.

Cartes mémo

Suite

Règle qui associe à n un terme u_n

Géométrique

u_{n+1} = r u_n et u_n = u_0 r^n

Logistique

Modèle discret: u_{n+1} = r u_n (1 - u_n/K)